29.Сложное сопротивление(косой изгиб).

Сложным сопротивлением называются виды нагружения, при которых в поперечных сечениях одновременно действуют несколько внутренних силовых факторов.

Рис.7.1

 

Сложный вид деформации можно рассматривать как сумму простых видов, изученных ранее (растяжение, изгиб, кручение), при которых в сечениях элементов конструкций возникал только один внутренний силовой фактор (рис.7.2): нормальная сила N - при растяжении, изгибающий момент М_z - при чистом изгибе, крутящий момент М_x - при кручении. Эти виды нагружения, растяжение, изгиб, кручение, являются простыми.

Косым изгибом называется такой вид сложного сопротивления , при котором в поперечных сечениях балки возникают только изгибающие моменты и , и все силы, приложенные к балке , действуют в одной ( силовой) плоскости, не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции . Рассмотрим консольную балку , нагруженную силой , как показано на рис.1 , и изготовленную из изотропного материала.                  

рис.1 

При косом изгибе отсутствует продольная сила . Влиянием поперечных сил при расчете балки на прочность обычно пренебрегают. Расчетная схема балки , изображенной на рис.1 , приведена на рис.2 .                    

рис.2 

Разложим силу на вертикальную и горизонтальную составляющие и от каждой из этих составляющих построим эпюры изгибающих моментов и . Вычислим составляющие полного изгибающего момента в сечении: Полный изгибающий момент в сечении равен Таким образом , составляющие полного изгибающего момента можно выразить через полный момент следующим образом: ( 1 ) Из выражения ( 1 ) видно , что при косом изгибе не нужно раскладывать систему внешних сил на составляющие , поскольку эти составляющие полного изгибающего момента связаны друг с другом с помощью угла наклона следа силовой плоскости . В результате отпадает необходимость в построении эпюр составляющих и полного изгибающего момента. Достаточно построить эпюру полного изгибающего момента в силовой плоскости , а затем , воспользовавшись выражением ( 1 ) , определить составляющие полного изгибающего момента в любом сечении балки. Полученный вывод существенно упрощает решение задач при косом изгибе . Нормальные напряжения при косом изгибе вычисляются по формуле :

( 2 ) Здесь знак " - " у полного изгибающего момента проставлен специально с той целью , чтобы автоматически получать правильный знак нормального напряжения в данной точке поперечного сечения . Полный изгибающий момент и координаты точки и берутся со своими знаками при условии , что в первом квадранте знаки координат точки принимаются положительными . Опасным сечением будет сечение А , поскольку в этом сечении возникает самый большой по величине полный изгибающий момент . Опасные точки сечения А определим , построив нулевую линию. Уравнение нулевой линии получим , вычислив с помощью формулы ( 2 ) нормальное напряжение в точке с координатами и , принадлежащей нулевой линии , и приравнивая найдено напряжения нулю. После несложных преобразований имеем: ( 3 ) или (4) где B - угол наклона нулевой линии к оси ( рис.3) .                                    

рис.3 

Исследуя уравнения (3 ) и (4 ) , можно сделать некоторые выводы о поведении нулевой линии при косом изгибе: 1 . Нулевая линия является прямой линией. 2 . Нулевая линия проходит через центр тяжести поперечного сечения . 3 . Нулевая линия пересекает те четверти координат , не пересекает следует силовой плоскости . 4 . Нулевая линия в общем случае не перпендикулярна следа силовой плоскости . В частном случае при равенстве моментов инерции и (круг , квадрат ) , , , угол является дополнением угла в . Из этого можно сделать вывод , что для сечений , в которых моменты инерции относительно двух любых взаимно перпендикулярных осей одинаковы ( ) , косое сгибание не возникает. 5 . Если , то угол раскрывается больше , чем прямой , нейтральная линия отклоняется к той оси , относительно которой момент инерции является минимальным . С рис.3 следует , что наибольшие по величине напряжения возникают в точках сечения , самых отдаленных от нулевой линии. В данном случае такими точками являются точки № 1 и № 3. Таким образом , при косом изгибе условие прочности принимает вид: ( 5 )   Если моменты сопротивления сечения относительно главных осей инерции могут быть выражены через размеры сечения , условие прочности удобно использовать в таком виде: ( 6 ) При подборе сечений один из осевых моментов сопротивления выносят за скобки и задаются соотношением . Зная , и угол , путем последовательных попыток определяют значение и , которые удовлетворят условию прочности :

( 7 ) Для несимметричных сечений , не имеют выступающих углов , используется условие прочности в виде (5). В этом случае при каждой новой попытке расчета размеров сечения необходимо заранее вновь обрести положение нулевой линии и координаты самой удаленной от нулевой линии точки ( ) . Для прямоугольного сечения . Задаваясь соотношением , из условия прочности ( 7 ) легко найти величину и размеры поперечного сечения . Рассмотрим определение перемещений при косом изгибе . Найдем прогиб в сечении консольной балки ( Рис.4 ) .                                 

рис.4 

Для этого изобразим балку в единичном состоянии и построим эпюру единичных изгибающих моментов в одной из главных плоскостей . Полный прогиб в сечении определять через проекции прогиба на оси и . Проекцию вектора полного прогиба на ось найдем , воспользовавшись формулой Мора : ( 8 ) Проекцию вектора полного прогиба на ось найдем аналогичным способом: ( 9 ) Полный прогиб равен: ( 10 ) Следует обратить внимание на то , что при косом изгибе в формулах ( 8) и ( 9) при определении проекций прогиба на оси координат меняются лишь стали члены , стоящие перед знаком интеграла . Сам интеграл остается неизменным. При решении задач исчислять этот интеграл , пользуясь методом Мора-Симпсона . Для этого умножаем единичную эпюру на грузовую ( Рис.4 ) , построенную в силовой плоскости , а затем полученный результат умножим последовательно на постоянные коэффициенты , соответственно и . В результате получим проекции полного прогиба и на оси координат и . Выражения для проекций прогиба для общего случая нагрузки , когда балка имеет участков , иметь вид :                                                            

                                                            ( 11 )                                                              ( 12 ) Отложим найденные значения для , , и ( Рис.3) . Вектор полного прогиба составляет с осью острый угол , величину которого можно найти по формуле :  

( 13 ) откуда

( 14 ) Сравнивая уравнения ( 13 ) с уравнением нулевой линии ( 4 ) , получаем выводу , что

   или  откуда следует , что нулевая линия и вектор полного прогиба взаимно перпендикулярны. Угол является дополнением угла до 900 . Это условие может быть использована для проверки при решении задач при косом изгибе: ( 15 ) Таким образом , направление прогиба при косом изгибе перпендикулярно нулевой линии. Отсюда следует важное следствие , что направление прогиба не совпадает с направлением силы , действующей в силовой плоскости ( рис.3) . Если нагрузка плоской системой сил , то ось изогнутой балки находится в плоскости , не совпадающей с плоскостью действия сил. Балка перекашивается по отношению к силовой плоскости . Это обстоятельство является основанием для того , чтобы подобный тип сгибания называть косым . Пример . Для балки , изображенной на рис.5 , а , определить размеры поперечного сечения прямоугольной формы , построить нулевую линию , определить нормальные напряжения в угловых точках опасного сечения балки и построить эпюру распределения нормальных напряжений по площади поперечного сечения . Определить величину и направление полного прогиба в сечении С балки. Балка опирается на наклонную поверхность (рис.5 , б). Угол наклона опорной поверхности к горизонту составляет . Отношение сторон поперечного сечения . Модуль упругости материала балки МПа. Допустимое напряжение МПа.  

рис.5 

  Решение : 1 . Изображаем балку в силовой плоскости , разбиваем балку на участки , расставляем " характерные" сечения на левом конце участка , посередине и правом конце участка . 2 . Определяем опорные реакции в силовой плоскости из уравнений равновесия :