1.4 Способ формирования кодовых последовательностей циклического кода с использованием образующего полинома

Данный способ формирования кодовых последовательностей ЦК находит широкое применение на практике в виду его существенной простоты. При построении ЦК с использованием образующего полинома P(x) могут быть сформированы кодовые последовательности как систематических, так и несистематических кодов.

При формировании кодовых последовательностей несистематического ЦК необходимо выполнить умножение передаваемого информационного блока Q(x) степени (k-1) на порождающий полином с приведением по модулю два коэффициентов при слагаемых с одинаковыми показателями степеней. Таким образом, F_i(x)=Q(x)⋅P(x).

В соответствии с [9] сущность построения систематического ЦК с использованием образующего полинома состоит в следующем:

1. Передаваемый информационный блок из «k» двоичных символов представляется многочленом Q(x) степени (k-1).

2. Многочлен Q(x) умножается на член P(x) с максимальной степенью x^l=x^n-k, т.е. Q(x)⋅x^l, что эквивалентно приписыванию к Q(x) со стороны младших разрядов l=n-k нулевых двоичных символов (разрядов).

3. Выполняется деление произведения Q(x)⋅x^l на образующий полином P(x) до получения остатка R(x) со степенью меньшей максимальной степени образующего полинома P(x). Данный остаток R(x) представляет собой сформированные проверочные символы.

4. Дописать остаток R(x) к произведению Q(x)⋅x^l. Следовательно, процесс формирования кодовой последовательности ЦК с использованием образующего полинома можно записать так:

F(x)= Q(x)⋅x^l/P(x)+ Q(x)⋅x^l=R(x)+ Q(x)⋅x^l.

1.5 Способ построения кодовых последовательностей и определение параметров циклического кода с использованием корней образующего полинома

Теория построения кодовых последовательностей и определение параметров кодов с использованием корней образующего полинома, была разработана одновременно и независимо друг от друга Боузе-Рой-Чоудхури-Хоквингеймом и в настоящее время называются БЧХ – кодами.

Данные коды являются разновидностью ЦК и позволяют корректировать как независимые, так и пакетные ошибки и параметры кодов находятся через элементы расширенного поля Галуа, суть которого состоит в следующем [1,2,3,7].

Пусть P(x) является образующим полиномом кодовой последовательности F_i(x) некоторого ЦК. Так как P(x) относится к примитивному полиному, т.е. который не раскладывается на сомножители более низких степеней, чем степень полинома P(x), то можно, найти корни полинома, при которых P(x)=0.

Пусть m₁,m₂,…,m_2tисп-1 – корни некоторого примитивного полинома, и которые, в свою очередь, являются степенями некоторых минимальных (примитивных) полиномов соответственно: m₁(х),m₂(х),…,m_2tисп-1(х). Тогда, если F_i(x) принадлежит ЦК, то кодовая последовательность F_i(x) должна делиться без остатка на образующий полином вида P(x)=НОК[m₁(х)⋅m₃(х)⋅…⋅m_2tисп-1(х)], т.е. HOK произведения минимальных нечетных полиномов.

Порядок (количество) минимальных полиномов определяется как i=2⋅t_исп-1. Существуют минимальные полиномы одного и того же порядка (i), но с различными значениями степеней (γ). Максимальная степень произведения минимальных полиномов (m_i), входящих в полином P(x), должна быть равна величине l=n-k, которая и определяет длину кодовой последовательности по формуле n=2^l-1=2^ε-1 двоичных символов.

Так как порядок (номер) самого старшего минимального полинома P(x) равен 2⋅t_исп-1, то количество полиномов (β), входящих в образующий полином P(x), равно кратности исправляемых ошибок, т.е. β= t_исп.

Минимальные полиномы для большинства БЧХ-кодов табулированы [2,3,7].

Для нахождения образующего полинома P(x) по формуле P(x)=НОК[m₁(х)⋅m₃(х)⋅…⋅m_2tисп-1(х)] необходимо выписать из таблицы все значения табулированных минимальных полиномов, соответствующих степени ε (соответствующий столбец таблицы) до порядка i=2⋅t_исп-1 (соответствующая строка таблицы) включительно. При отсутствии в таблице минимального полинома “нужного” порядка необходимо выбрать ближайший меньший, а если среди минимальных полиномов окажется два одинаковых, то для выражения P(x) необходимо взять только один полином.

Для определения параметров БЧХ-кода необходимо, чтобы было задано: n – длина кодовой последовательности и t_исп – длина или кратность исправляемых ошибок [7].

1.6 Способ построения кодовых последовательностей циклического кода с использованием образующего полинома вида P(x)=s(x)⋅(x^c+1)

Способ задания ЦК с использованием образующего полинома вида P(x)=s(x)⋅(x^c+1) был предложен Файром и поэтому были названы кодами Файра.

Циклические коды Файра используются для обнаружения и коррекции одиночных пакетов ошибок любой длины (t_n), разделенных безошибочным интервалом в l_защ ≥ (n-t_n) двоичных символов. Как уже отмечалось, данные коды задаются образующим полиномом вида

P(x)=s(x)⋅(x^c+1),

где s(x) – неприводимый полином максимальная степень, которого равна кратности исправляемого пакета ошибок, т.е. ε ≥ t _n.исп;

c – степень двучлена, равная или больше t_n.исп+t_n.обн-1; t_n.обн – длина или кратность обнаруживаемого пакета ошибок.

Величина “c” не должна делиться на некоторое число χ=2t_n.исп-1. Если использовать ЦК Файра только для обнаружения пакетных ошибок, то для этого необходимо, чтобы количество проверочных символов кода соответствовало следующему равенству-неравенству l ≥ t_n.обн двоичных символов, а при коррекции t_n ошибок l ≥ 2⋅t_n.исп.

Длина кодовой последовательности “n” данных кодов определяется равенством n=HOK[χ,c] двоичных символов. Минимальное кодовое расстояние кода определяется равенством-неравенством вида d₀ ≥ t_n.обн+t_n.исп+1.