1.2 Построение кодовых последовательностей с использованием

порождающей матрицы

Кодовая последовательность ЦК при заданной порождающей матрице G_k,n(x) и заданном информационном блоке Q(x) формируется по правилу F(x)=Q(x)⋅G_k,n(x), т.е. произведения вектора-строки Q(x), содержащего “k” информационных двоичных символов, на порождающую матрицу G(x) рангом (k×n). При этом, если используется каноническая (приведенно-ступенчатая) G(x), то будут формироваться кодовые последовательности систематического разделимого ЦК. Порождающая матрица G(x) строится довольно просто, если задан образующий полином P(x) и длина кодовой последовательности “n”.

В общем случае построение порождающей матрицы G(x) ЦК с использованием образующего полинома можно записать так:

,

где q=0;1 – коэффициенты образующего полинома, которые могут принимать значение либо 0, либо 1,

0 – нулевые символы, дополняющие каждую строку до значения “n” двоичных символов [9].

Формирование кодовой последовательности F(x), т.е. процесс кодирования информации с помощью G(x) осуществляется по правилу F(x)=Q(x)⋅G(x): первый символ Q(x) умножаем на первый символ первого столбца G(x), второй символ Q(x) умножаем на второй символ первого столбца G(x) и суммируем по модулю два с первым результатом, третий символ Q(x) умножаем на третий символ первого столбца G(x) и суммируем по модулю два с предыдущим результатом и т. д. Затем первый символ Q(x) умножаем на первый символ второго столбца G(x) и далее все повторяется аналогично формированию первого кодового символа F(x).

Кодовую последовательность ЦК можно и другим методом, используя единичную матрицу и остатки от деления x^n-1/P(x).

Допустим, необходимо сформировать кодовую последовательность ЦК с параметрами (n,k,d₀)=(10,5,5), если P(x)=x⁵+x⁴+x²+1.

Так как k=5, то используем следующие единичные векторы: Q₁(x)=10000, Q₂(x)=01000, Q₃(x)=00100, Q₄(x)=00010 и Q₅(x)=00001. Записываем Q₁(x)…Q₅(x) в виде единичной подматрицы рангом (5×5):

.

Далее определяем проверочные символы каждой строки по следующей методике: делим x^n-1/P(x) и берем остатки от деления для первой строки – от первого такта деления, т.е. R₁(x), для второй строки – после двух тактов деления, т.е. R₂(x) и т. д. Полученные символы дописываем к соответствующим строкам единичной подматрицы:

R₁(x)=x^n-1/P(x)=x⁹/x⁵+x⁴+x²+1=10101, R₂(x)=11111, R₃(x)=01011, R₄(x)=00011 и R₅(x)=10011.

Формирование кодовых последовательностей осуществляется по правилу F(x)=Q(x)⋅G_5.10(x).

1.3 Назначение и способы построения проверочной матрицы

циклического кода

Проверочные матрицы ЦК могут использоваться для выбора как способов кодирования информации, так и алгоритмов декодирования. Проверочные матрицы ЦК могут быть построены с использованием порождающей матрицы G_k,n(x), единичной матрицы проверок и проверочного полинома h(x).

Сущность способа построения проверочной матрицы H_l,n(x) с использованием канонической порождающей матрицы G_k,n(x) состоит в следующем [9].

Пусть задана следующая каноническая порождающая матрица ЦК с параметрами (n,k,d₀)=(7,4,3) вида:

a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇ .

Первый столбец проверочной матрицы H_3,7(x) для данного кода записываем, используя проверочные символы первой строки G_4,7(x), второй, третий и четвертый столбцы H_3,7(x) формируем путем записи проверочных символов второй, третьей и четвертой строк G_4,7(x), а далее записываем три столбца единичной подматрицы. В результате получаем следующую проверочную матрицу H_3,7(x). Ненулевые символы строк проверочной матрицы определяют позиции информационных символов, участвующие в формировании проверочных уравнений. Так для построенной проверочной матрицы H_3,7(x) можно сформулировать следующие три проверочных уравнения: b1=a1⊕a2⊕a3, b2=a2⊕a3⊕a4, b3=a1⊕a2⊕a3.

Принцип построения проверочной матрицы с использованием единичной подматрицы и остатков от деления аналогичен принципу построения порождающей матрицы. Количество остатков от деления xⁿ+1 на P(x) должно быть равно количеству строк единичной подматрицы.

Сущность принципа построения проверочной матрицы ЦК с использованием проверочного полинома h(x) состоит в следующем. Первоначально определяем проверочный полином как отношение xⁿ+1 на P(x), т.е. h(x)=xⁿ+1/P(x). Полученный полином переводим в двоичную форму записи, записываем в виде первой строки проверочной матрицы H_l,k(x) и дополняем нулями до количества столбцов, равное “n”. Далее выполняем (l-1) циклический сдвиг двоичных символов первой строки [7].