5. Ряды распределения.

Распределение единиц совокупности на группы по вариационному признаку в определенном порядке представляет собой в статистике ряд распределения. По виду признака ряды распределения бывают атрибутивными и вариационными.

Атрибутивные – ряды распределения, построенные по качественным признакам. Примером атрибутивных рядов могут быть текущие затраты на охрану различных элементов природы (таблица 3.10).

Таблица 3.10.

Динамика текущих затрат на охрану природы в Тамбовской области за 1996-1999 годы (млрд. руб.).

№ п/п.	Виды затрат	1996		1998			1999
		Млрд. руб.	%	Млрд. руб.	%	Млрд. руб.		%
1	По охране атмосферного воздуха.	66,2	25,5	50,2	24,2	15,7		10,5
2	По охране и рациональному использованию водных ресурсов.	187,3	71,9	152,4	73,6	126,0		84,2
3	По охране отходов производства и потребления.	7,0	2,6	4,6	2,2	8,0		5,3
	Всего	260,5	100	207,2	100	149,7		100
	В%% к 1996 году.		100	-	79,5	-		57,5

По данным таблицы 3.10 можно исследовать изменение общих затрат на охрану природы. Они сократились в 1999 по сравнению с 1996 на 42,5% или на 110,8 млрд.руб.

Вариационные ряды – ряды распределения, построенные по количественному признаку.

Вариационный ряд состоит из двух элементов: вариантов и частот. Варианты – отдельные конкретные значения признака в вариационном ряду. Частоты – числа, показывающие как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения. При этом сумма всех частот составляет численность всех единиц совокупности.

Частости – частоты, выраженные в % или долях к итогу. В зависимости от характера вариации (прерывной или непрерывной) количественных признаков вариационные ряды подразделяются на: дискретные и интервальные.

Дискретный вариационный ряд – ряд распределения совокупности по величине количественного признака только с целыми значениями.

Примером дискретного ряда может быть разряд рабочего, количество комнат, количество детей в семье и т.д. (таблица 3.11).

Таблица 3.11.

Зависимость производительности труда рабочего от его разряда.

№ п/п.	Разряд рабочего	Средняя дневная выработка продукции, руб.	В % к 1 ряду
1	1	196	100,0
2	2	258	131,6
3	3	270	137,8
4	4	292	150,0
5	5	359	183,6
6	6	400	204,1

В таблице 3.11 в первой колонке представлены варианты дискретного ряда, во второй – частоты вариационного ряда, в третьей – частости.

Вариационный интервальный ряд – ряд распределения единиц совокупности по величине количественного признака, величина которого может принимать в определенных пределах любые значения при непрерывной вариации.

Анализировать характер изменения частот, форм рядов распределения лучше и нагляднее всего при помощи их графического изображения, т.е. с помощью гисторгаммы, полигона распределения, кумуляты, антикумуляты и огивы, вычерченных на основе таблицы 3.12.

Таблица 3.12.

Расчетная таблица распределения фермерских хозяйств по уровню урожайности зерно-бобовых культур (ц/га.)

№ п/п	Xi	Fi	Xi	Xi* Fi	Si	Si	Частости		Строки
							%	Доли	Мо	Ме	Qi
1	8-10	8	9	72	8	60	13,3	0,133
2	10-12	10	11	110	18	52	16,7	0,167			Q1
3	12-14	17	13	221	35	42	28,3	0,283	Мо	Ме	Q2
4	14-16	12	15	180	47	25	20,0	0,200			Q3
5	16-18	7	17	119	54	13	11,7	0,117
6	18-20	4	19	76	58	6	6,7	0,067
7	20-22	2	21	42	60	2	3,3	0,033
8	Всего	60	-	820	-		100	1,00

Гисторгамма строится путем откладывания на оси абсцисс величины интервала, а частоты изображаются прямоугольниками, построенными на соответствующих интервалах. Если соединить середины верхних сторон прямоугольников прямыми линиями, то мы преобразуем гисторгамму в полигон распределения (рис.3.12).

На основании этого графика можно определить численное значение часто встречаемой в нашей совокупности средней структурной величины, которая называется мода. Для этого левый угол самого высокого прямоугольника соединяем прямой линией с левым углом последущего прямоугольника, а правый угол самого высокого прямоугольника соединяем тоже прямой линией с правым углом предыдующего прямоугольника. Затем из полученной точки пересечения “п” опускаем перпендикуляр до пересечения с осью абсцисс. Точка пересечения с осью абсцисс и обозначит нам численное значение моды (Мо). В нашем примере она будет равна 13,16.

Численное значение моды, если нет графика, можно определить математическим способом по формуле:

,

где Xmo – минимальное значение Х модальной строки, которая определяется по наибольшей частоте;

Fmo – численное значение частоты в модальной строке;

F_-1 – численное значение частоты в предмодальной строке;

F₊₁ – численное значение частоты в послемодальной строке.

В нашем примере мода будет равна:

.

F i

1 8

16

1 4

1 2

1 0

8

6

4

2

8 10 12 Mo 14 16 18 20 2 Xi

Рис.3.1 График гистограммы, полигона распределения, определение моды по данным таблицы 3.11 (равные интервалы).

Чтобы построить гистограмму распределения вариационного ряда с неравными интервалами на оси ординат откладываются частоты, а плотность распределения признака в соответствующих интервалах. Это делается для устранения влияния величины интервала на распределение. Плотность распределения – частота, рассчитанная на единицу ширины интервала, т. е. сколько единиц совокупности в каждой группе приходится на единицу ширины интервала. Пример расчета и построение гистограммы по вариационному ряду представлены в таблице 3.13 и на рис. 3.2.

Таблица 3.13.

Распределение предприятий по уровню рентабельности, % (данные условные).

№ п/п	% рентабельности	Число предприятий	Величина интервала	Плотность распределения
1	0-2	1	2	0,5
2	2-6	6	4	1,5
3	6-12	18	6	3,0
4	12-24	16	12	1,3
5	24-30	4	6	0,7
6	30-36	3	6	0,5
	Всего	48	-	-

Кумулята – кривая, построенная на основании накопленных частот, начиная от минимального и заканчивая максимальным значением признака в совокупности (Xi).

Антикумулята – кривая, построенная на основании накопленных частот (Si), начиная от максимального и заканчивая минимальным значением признака в совокупности. Однако, профессор Елисеева И.И. называет ее “огивой”, в то время как огива – это перевернутая на 180 градусов кумулята и ее изображение не совпадают с антикумулятой.

m

3,0

2,0

1,0

0,5

0 1 2 6 12 24 30 36 Xi

Рис.3.2 График гистограммы вариационного ряда с неравными интервалами, построенная на основании таблицы 3.13.

Накопленные частоты (S) рассчитываются путем последовательного суммирования частот (Fi) по группам.

Кумулята и антикумулята строятся путем откладывания по оси абсцисс, как и при построении гистограммы, значений вариантов ряда, с выставлением перпендикуляров, а по оси ординат откладывается накопленная частота. Соединяя полученные точки пересечения, получаем кривые линии в виде кумуляты и антикумуляты (рис.3.3) с точкой пересечения “ м” на поле графика. Если теперь из точки “м” опустить перпендикуляр на ось абсцисс, то точка пересечения с ней покажет нам численной значение средней взвешенной величины, называемой медианой (рис.3.3).

Медиана – средняя структурная величина, показывающая численное значение признака, находящегося в середине ранжированного ряда. На нашем графике она равна 13,41%.

Fi

60 . кумулята

56

52

48

42

38

34

30

26 антикумулята

22

18

14

10

6

8 10 12 Me 14 16 18 20 22 Х

Рис.3.3 График кумуляты и антикумуляты с равными интервалами, построенными на основании таблицы 3.12.

Если нет графика, численное значение медианы в статистической совокупности можно рассчитать по математической формуле:

,

где Xme- нижнее значение медианной строки;

S-1-численной значение накопленной частоты в передмедианной строке;

Fme - частота медианной строки;

n- количество единиц совокупности.

Медианная строка определяется по численному значению накопленной частоты (S), приближенной к номеру медианы, определяемого по формуле:

N=0,5*(n+1) – при нечетном числе единиц совокупности;

N=0,5*n – при четном числе единиц совокупности.

По данным таблицы 12 численное значение медианы будет равно 13,12%, как и на рис 3.3

.

Если при графическом изображении вариационного ряда (таблица 3.12) в виде кумуляты численные значения f_i и x_i поменять местами, то мы получим огиву (рис.3.4).

X i

22

20

18

16

14

12

10

8

6 12 18 24 30 36 42 54 60 Fi

Рис.3.4 График огивы с равными интервалами, построенный по данным таблицы 3.12.

Аналогично медиане вычисляется среднее значение признака, в разделенной на равные четыре части совокупности. Эти четыре части называют квартилями и обозначают буквой Q с подписным значком номера. Понятно, что Ме совпадает с Q₂. Для первой и третьей квартилей приводим формулы и расчет средних значений по данным таблицы 3.12.

Так как Q₂=Ме=13,41, то разница между Ме и первой квартилью (13,41-11,4=2,01) меньше, чем между медианой и третьим квартилем (15,67-13,41=2,26), что свидетельствует о наличии несимметричности в средней области распределения. Это было уже заметно по гистограмме.

Если разделить вариационный ряд на 5 частей, то среднее значение каждой части будет называться квинтилями, на 10 частей – децилями. Так как эти средние величины применяются, для подробного изучения структуры вариационного ряда, не столь часто, подробно их рассматривать здесь не будем.

6.СРАВНИМОСТЬ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГРУППИРОВОК.

Группировки, построенные для анализа явлений с разным количеством групп, величиной интервалов и т.д. оказываются, как правило, не сопоставимыми. Чтобы привести такие группировки к сопоставимому виду используется метод построения вторичной группировки, т. е. метод перегруппировки единиц совокупности без обращения к первичным данным.

Существует два способа образования новых групп: объединение мелких первоначальных интервалов в крупные и разокрупнение крупных, особенно неравных интервалов в равные и более мелкие.

Построение вторичных группировок для объективного сравнения с равными интервалами, на базе группировок с неравными интервалами, покажем на следующем конкретном примере. Допустим, мы имеем вариационную таблицу колеблемости урожайности озимой пшеницы, в зависимости от размера площади в ряде фермерских хозяйств (Таблица 3.14).

Сначала, для вариационного ряда с неравными интервалами рассчитаем абсолютную или относительную плотности распределения в группах по следующим формулам:

; , где

f_i – частота, выраженная в абсолютных единицах;

w_i – частость (частота), выраженная в относительных единицах;

h_i – величина интервалов.

В нашем примере, зная относительную плотность распределения по группам (сколько % приходится на одну учетную единицу в признаке) можно определить частости соответствующего нового интервала по формуле:

Таблица 3.14.

Изменение урожайности озимой пшеницы в цен/га в группах фермерских хозяйств в зависимости от размера посевной площади.

№ п/п	От 10 до 30 га					От 30 до 100 га
	Вариация урожайности цен/га		показатели			Вариация урожайности цен/га		Показатели
			hi		Wi			hi		Wi
1	16-20		4		20	12-16		4		10
2	20-30		10		40	16-20		4		30
3	30-40		10		30	20-24		4		10
4	40 и более		4		10	24-28		4		15
5	Всего		-		100	28-36		8		25
6						36-40		4		10
7						Всего		-		100

В нашем примере предстоит сначала рассчитать новые величины интервалов и их частости в группах фермерских хозяйств с посевной площадью озимой пшеницей от 10 до 30 га.

В первой строке величины интервалов совпадают (h=4), поэтому w_i как в первой, так и во второй группах фермерских хозяйств оставляют без изменений: соответственно 20% и 10%.

Во второй строке фермерских хозяйств величина интервала равна не 4 цен/га, как во втором, а 10 (от 20 до 30 га), поэтому определяем относительную плотность распределения (Mot):

Тогда общая частость второй строки в 40% будет расчлена на новые значения частости с единой величиной интервала 4 цен/га следующим образом:

с урожайностью 20-24 цен/га.

с урожайностью 24-28 цен/га.

Оставшиеся 8% частостей (40%-32%) составляют только 0,5 части строки (8%/16%), т.е. только 2 единицы, а не 4, поэтому 8% хозяйств будет перенесено в другую группу с урожайностью 28-32 цен/га.

В третьей строке первой группы фермерских хозяйств относительная плотность распределения будет равна (%):

Тогда четвертая строка будет сформирована из 0,5 строки с интервалом 28-30 цен/га и 0,5 строки с интервалом 28-32 цен/га, т.е.:

W4= 4% * 2 + 3% * 2 = 8% + 6% = 14%

W ₅, W ₆ , cоответственно, будут равны 12% (3%*4).

Таким образом, общая величина частости 30% в третьей строке первой группы фермерских хозяйств величина интервала равна 4 цен/га, поэтому=10% корректировке не будет подлежать.

В пятой строке первой группы фермерских хозяйств величина интервала равна 8цен/га, а не 4, поэтому для нее рассчитываем относительную плотность распределения, которая будет равна 3,125%

Тогда частости во второй группе фермерских хозяйств будут равны 12,5%

w₅= 3,125%*4=12,5% с урожайностью 28-32 га

w₆=3,125%*4=12,5% с урожайностью 32-36 га.

Таким образом, общая величина частостей в 25% в пятой строке второй группы фермерских хозяйств (12,5%+12,5%).

С учетом проведенных расчетов построим таблицу 3.15 для сравнения структур распределения групп по уровню урожайности в хозяйствах 1 и 2 групп.

Таблица 3.15.

Группировка фермерских хозяйств по уровню урожайности озимой пшеницы (цен/га.) в зависимости от посевной площади.

№ п/п	Группы фермерских хозяйств по уровню урожайности (цен/га)	1 группа. посевная площадь от 10 до 30 га	2 группа. Посевная площадь от 30 до 100 га
1	12-16	-	10,0
2	16-20	20	30,0
3	20-24	16	10,0
4	24-28	16	15,0
5	28-32	14	12,5
6	32-36	12	12,5
7	36-40	12	10,0
8	40 и более	10	-
9	Итого	100%	100%

Из таблицы 3.15 видно, что с увеличением посевных площадей во второй группе фермерских хозяйств, уровень урожайности озимой пшеницы имеет тенденцию к снижению: 40% хозяйств с урожайностью от 12 до 20 цен/га., а в первой группе только 20%; 35% хозяйств с урожайностью от28 до 40 цен/га, а в первой группе таких хозяйств 38%; во второй группе нет ни одного хозяйства с урожайностью более 40 цен/га., а в первой группе их 10%.