5. Сравнение теоретических и эмпирических законов распределения радиусов кривых в плане.
6. Сравнение теоретических и эмпирических законов распределения радиусов выпуклых и вогнутых кривых.
5. Сравнение теоретических и эмпирических законов распределения радиусов кривых в плане
При обследовании дорог радиусы кривых в плане определяли по формуле (2.1).
Статистическую обработку радиусов кривых в плане выполняли теми же методами, что и статистическую обработку других параметров, например, ширины покрытия (см. табл. 2.1). Среднее значение радиуса (Rср) и среднее квадратическое отклонение радиусов (σR) в пределах круговой кривой устанавливали мультипликативным методом и методом суммирования (см. описание к табл. 2.1).
Всего было обследовано 18 кривых в плане, на каждой из которых было определено не менее 80 значений радиусов, требуемое число которых устанавливали (контролировали) по формуле (2.2).
В табл. 2.3 показан пример сравнения эмпирического распределения радиусов с теоретическим законом.
Опуская пока вопросы о низком качестве строительства кривых в плане и вопросы увеличения опасности движения по некачественно построенным кривым, отметим, что фактические законы распределения радиусов не отрицают применения в теории риска нормального закона распределения (см. табл. 2.3).
Таблица 2.3
Сравнение эмпирического распределения радиусов кривой
в плане с законом нормального распределения
Разряды интервалов радиусов в плане, м |
Абсолют ная частота, (hm) |
Вероятность попадания измерений в разряд, (Рi) |
Теоретическое количество измерений в разряде (nT = Рi ∙ n) |
|
<450 450 – 750 750 – 1050 1050 – 1350 1350– 1650 1650– 1950 > 1950 |
0 4 11 12 6 3 0 |
0,0188 0,1022 0,2803 0,3441 0,1964 0,0516 0,0066 |
0,68 3,68 10,091 12,388 7,07 1, 858 0,238 |
0,68 0,028 0,082 0,012 0,162 0,702 0,238 |
n = Σhm= 36 Σ Рi = 1 Σ χ2 = 1,904
Вероятности попадания измерений в разряд устанавливали по формулам (2.11) и (2.12). Последовательность вычисления этих вероятностей такая же, как показано выше.
При ν = 4 определяем P = 0,78 – следовательно, теоретическое и эмпирическое распределения согласуются с оценкой «отлично».
6. Сравнение теоретических и эмпирических законов распределения радиусов выпуклых и вогнутых кривых
При обследовании дорог радиусы вертикальных кривых определяли по формуле (2.3).
Методика измерений описана выше.
Установлено, что на дорогах низких категории строители часто не разбивают вертикальные кривые, а прокладывают профиль дороги ломаными линиями или случайными (мгновенными) радиусами даже в том случае, когда вертикальные кривые в проектах предусмотрены. На дорогах I и II категорий вертикальные кривые обычно присутствуют, но большой разброс (вариация) радиусов кривых указывает на значительные отступления от проектных решений. Более того, вертикальные кривые продольного профиля могут быть запроектированы с одними радиусами, а построены с другими значениями радиусов вертикальных кривых, которые к тому же имеют значительный разброс относительно среднего значения. Всё это указывает на то, что необходимо в процессе приёмки дорог в эксплуатацию контролировать значения радиусов вертикальных кривых, а при проектировании продольного профиля необходимо указывать допуски на отклонения радиусов, которые должны выдерживаться при строительстве.
Для вывода формул теории риска, предназначенных для контроля качества автомобильных дорог в продольном профиле, необходимо определить законы распределения параметров исследуемых геометрических элементов. В данном случае это радиусы выпуклых и вогнутых кривых. Для установления фактических законов распределения радиусов вертикальных кривых были проведены натурные обследования автомобильных дорог Пензенской и Саратовской областей.
В табл. 2.4 приведен пример статистической обработки радиусов вогнутой кривой и показаны методы определения среднего значения и среднеквадратического отклонения радиусов.
– среднее значение радиуса вогнутой кривой
;
– среднеквадратическое отклонение
.
По методу суммирования
;
.
Таблица 2.4
Пример статистической обработки радиусов вогнутой кривой
Разряды интервалов радиусов кривой, м |
Середина разряда, Um |
Абсолютная частота, hm |
Частичная сумма, Sm |
Накопленная частота, T |
Середина условного интервала, lm |
Произведения |
||
lm×hm |
|
|
||||||
1000-2000 |
1500 |
1 |
1 |
1 |
-3 |
-3 |
9 |
9 |
2000-3000 |
2500 |
3 |
4 |
5 |
-2 |
-6 |
4 |
12 |
3000-4000 |
3500 |
12 |
16 |
21 |
-1 |
-12 |
1 |
12 |
4000-5000 |
4500= |
51 |
67 |
88 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5000-6000 |
5500 |
57 |
124 |
212 |
1 |
57 |
1 |
57 |
6000-7000 |
6500 |
13 |
137 |
349 |
2 |
26 |
4 |
52 |
7000-8000 |
7500= |
4 |
141 |
490 |
3 |
12 |
9 |
36 |
|
|
n=141 |
М=490 |
1166 |
|
В=74 |
|
А=178 |
Примечание: интервал в разрядах радиусов кривой 1000м.
Применяя к данным табл. 2.4 мультипликативный метод, получаем:
В табл. 2.5 дан пример сравнения по критерию Пирсона c2 эмпирического распределения с теоретическим распределением.
Критерии Пирсона и Романовского основываются на сравнении фактического и теоретического количества частот исследуемого показателя в разрядах. Число разрядов должно быть не менее пяти, а фактическая частота в разряде не менее трех / /.
Вероятность Pi в табл.2.5 вычислялась по формуле Симпсона (2.11),
где ординаты yi вычислены для соответствующих абсцисс хi (см. табл. 2.5) по формуле
.
При сравнении с нормальным законом распределения применяли также формулу (2.12).
Из таблиц c2 распределения выписываем вероятность соответствия фактического распределения радиусов вогнутой кривой нормальному закону Рс = 0,35. Такое совпадение следует считать хорошим.
Для данных табл. 2.5 критерий Романовского R = 0,19, показывает хорошее соответствие законов.
Таблица 2.5
Сравнение эмпирического распределения радиусов
вогнутой кривой с законом нормального распределения
Разряды интервалов радиусов кривой, м |
Абсолютная частота, hm |
Вероятность попадания измерений в разряд, Pi |
Теоретическое количество измерений в разряде (nT=Pi×n) |
|
<1000 |
0 |
0,00003 |
0,00378 |
0,00378 |
1000-2000 |
1 |
0,00118 |
0,16543 |
4,21044 |
2000-3000 |
3 |
0,01993 |
2,78986 |
0,01583 |
3000-4000 |
12 |
0,13086 |
18,31977 |
2,18013 |
4000-5000 |
51 |
0,33808 |
47,33132 |
0,28436 |
5000-6000 |
57 |
0,34593 |
48,43063 |
1,51627 |
6000-7000 |
13 |
0,14021 |
19,62950 |
2,23899 |
7000-8000 |
4 |
0,02239 |
3,13172 |
0,24074 |
>8000 |
0 |
0,00139 |
0,19465 |
0,19465 |
|
n=140 |
1,00000 |
|
6,671 |
На рис. 2.8 показано сравнение гистограммы распределения радиусов вогнутой кривой с плотностью нормального распределения.
Рис. 2.8 Гистограмма распределения радиусов вогнутой кривой и плотность нормального распределения при Rср = 5025м и s = 997м
Статистическую обработку радиусов выпуклых кривых выполняли теми же методами, что и статистическую обработку радиусов вогнутых кривых (см. табл. 2.4). Среднее значение радиуса (Rср) и среднее квадратическое отклонение радиусов (σR) в пределах выпуклой кривой устанавливали мультипликативным методом и методом суммирования (см. описание к табл. 2.4).
В результате обследования 16 кривых (11 выпуклых и 5 вогнутых) оценки совпадения эмпирических распределений и нормального закона расположились следующим образом: 9 раза – удовлетворительно; 5 раза – хорошо; 2 раза – отлично.
Статистическая обработка обследованных вертикальных кривых показала, что эмпирические распределения хорошо согласуются с нормальным законом распределения. При проектировании вертикальных кривых, а также при обследовании существующих дорог можно использовать нормальный закон распределения случайных величин.
Обобщая результаты натурных обследований автомобильных дорог, приходим к выводу, что геометрическая составляющая теории риска должна базироваться на нормальном законе распределения.