4. Сравнение теоретических и эмпирических законов распределения
В табл. 2.2 приведено сравнение по критерию Пирсона c2 эмпирического и теоретического распределений.
Критерии Пирсона и Романовского основываются на сравнении фактического и теоретического количества частот исследуемого показателя в разрядах (см. табл. 2.2). Число разрядов должно быть не менее пяти, а фактическая частота в разряде не менее трех [51]. Для теоретического распределения число степеней свободы определяется выражением:
,
где k– число разрядов (в табл. 2.2 k=7);
r– число наложенных связей (для нормального распределения r = 3).
Вероятность Pi в табл. 2.2 вычисляли по формуле Симпсона [70]:
(2.10)
которую применяли при m = 2:
(2.11)
где yi – ординаты плотности распределения при нахождении абсцисс распределения в пределах от α до b.
При сравнении с нормальным законом распределения применяли также формулу вида:
(2.12)
где Ф(u) – функция Лапласа;
xi+1 и xi – абсциссы плотности распределения, ограничивающие интервалы в разрядах (см. табл. 2.2);
xср – среднее значение или математическое ожидание фактического распределения;
σ – среднее квадратическое отклонение исследуемого параметра .
В математической статистике / / принято считать совпадение теоретического и эмпирического распределения:
отличным при Р > 0,5;
хорошим при Р = 0,3 ÷ 0,5;
удовлетворительным при Р 0,1 ÷ 0,3;
неудовлетворительным при Р < 0,1.
Критерий В.И. Романовского:
|
(2.13) |
.Если критерий Романовского меньше 3, то соответствие фактической кривой распределения нормальному распределению следует считать хорошим.
Таблица 2.2
Сравнение эмпирического распределения ширины покрытия с законом нормального распределения
Разряды интервалов ширины покрытия, м |
Абсолютная частота, hm |
Вероятность попадания измерений в разряд, Pi |
Теоретическое количество измерений в разряде (nT=Pi×n) |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
<15,2 |
0 |
0,00481 |
0,57760 |
0,57760 |
15,2-15,6 |
6 |
0,04133 |
4,95901 |
0,21852 |
15,6-16,0 |
19 |
0,16898 |
20,15805 |
0,06653 |
16,0-16,4 |
37 |
0,32573 |
38,96781 |
0,09937 |
16,4-16,8 |
42 |
0,29933 |
35,90811 |
1,03350 |
16,8-17,2 |
16 |
0,13240 |
15,76799 |
0,00341 |
>17,2 |
0 |
0,02742 |
3,29006 |
3,29006 |
|
n=120 |
|
|
|
1,00000
5,289
При числе степеней свободы n = 7 – 3 = 4 вероятность совпадения эмпирического и теоретического законов распределения Р=0,26, что в соответствии с методами математической статистики оценивается как удовлетворительное совпадение.
Критерий Романовского также говорит о том, что фактический закон распределения соответствует нормальному закону. По критерию В. И. Романовского:
R = (∑ χ i2 – ν)/(2 ν)0,5 = (5,289 – 4)/ (2 · 4)0,5 = 0,46.
На рис. 2.7 показано сравнение гистограммы распределения ширины четырехполосной дороги (в одном направлении) с плотностью нормального распределения.
Рис.
2.7 Сравнение распределения ширины
проезжей части (гистограмма) с плотностью
нормального распределения (кривая) при
В=16,36 м и s
= 0,45 м
В процессе проведения экспериментальных исследований по определению законов распределения ширины покрытия (измерено более 15км) на автомобильных дорогах с I,б по III категории было получено, что распределение ширины покрытия хорошо согласуется с плотностью нормального распределения.
ДИСЦИПЛИНА
Б.3.1.7 «Транспортная инфраструктура»
ТЕМА 9
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ РИСКА
Лекция 18
Учебные вопросы: