3. Основные диаграммы транспортного потока и формулы их описывающие, основанные на динамической теории следования за лидером
Основное дифференциальное уравнение следования за лидером имеет вид [2]:
,
(4)
где
- ускорение ведомого автомобиля;
- показатель
чувствительности водителя заднего
автомобиля;
и
- скорости движения соответственно
лидирующего и ведомого автомобилей.
В первом
дифференциальном уравнении следования
за лидером (опубликованном в 1962 г) в
показателе чувствительности водителя
(
)
использовали время реакции водителя
(tP)
на согласование скоростей ведущего (
)
и ведомого (
)
автомобилей в виде
.
Согласно этому подходу ускорение заднего
автомобиля зависит от чувствительности
водителя (
)
и прямо пропорционально разности
скоростей переднего и заднего автомобилей
[2]. Позднее (начиная с 1964г.) исследователи
Р. Хандлер, И. Пригожин, Д. Газис и др.
[см. 1]; Л. Эдай, Р. Герман и Р. Пост [см. 2]
предложили ряд модификаций уравнения
(4). В работах ряда учёных было показано,
что чувствительность водителя зависит
не только от времени его реакции на
согласование скоростей, но и от таких
параметров, как фактическая (характерная)
скорость движения (
)
ведомого автомобиля и дистанция (
)
до следующего впереди автомобиля со
скоростью
.
В связи с этим
показатель чувствительности водителя
претерпевал логически обоснованные
изменения, принимая следующие значения:
;
;
;
.
Однако только первые три показателя чувствительности водителя позволяют в правой части уравнения (4) сохранить размерность определяемого ускорения, но не один из этих показателей не позволяет в результате интегрирования уравнения (4) получить основные диаграммы транспортного потока.
Для вывода расчётных зависимостей и построения основных диаграмм транспортного потока в работе [5] использована теория следования за лидером, основанная на дифференциальном уравнении вида
,
(5)
где
– коэффициент пропорциональности;
– расстояние (дистанция) между автомобилями, м;
– показатель
чувствительности водителя заднего
автомобиля, при котором должна сохраниться
размерность уравнения (м/с2).
Интегрированием уравнения (5) в работе [5] были получены формулы динамических характеристик транспортного потока, которые хорошо описывают фактические характеристики движения на двух- и многополосных дорогах. Основные формулы этой теории [5] следующие.
Показатель чувствительности водителя в уравнении (5) имеет вид
,
(6)
где
- плотность транспортного потока, в
котором в соответствии с уравнением
(5) рассматриваются скорости лидирующего
и ведомого автомобилей. Размерность
данной плотности, как и плотности при
заторе (
),
либо
,
либо
[при скорости свободного движения
,
выраженной в
размерность плотности
];
- коэффициент
пропорциональности, при котором в
уравнении (5) соблюдается размерность
ускорения (м/c2). Для
соблюдения размерности ускорения
показатель чувствительности должен
иметь размерность
.
Принимая в уравнении (6) скорость
в м/с, получаем плотности
и
выраженные в
либо в авт/м. В обоих случаях получаем
требуемую размерность показателя
чувствительности водителя ведомого
автомобиля:
или
.
В соответствии с
уравнением (6), показатель чувствительности
водителя зависит от конкретной плотности
движения (расстояния между автомобилями),
от показателей
и
,
которые изменяются в зависимости от:
дорожных условий, состава движения,
погодных явлений, ширины и состояния
покрытия, видимости на дороге и
определяются перечисленными факторами.
Чем лучше дорожные условия, тем больше
и меньше
,
а значит и выше скорости движения
следующих друг за другом автомобилей
(
и
).
Отношение
характеризует конкретный участок
дороги, состояние покрытия и состав
движения.
Плотность потока
(
)
зависит от интенсивности движения,
возмущающих воздействий на дороге
(парковок и манёвров автомобилей,
наличия пешеходов, ДТП) и всех перечисленных
факторов, влияющих на характеристики
и
.
Чем выше плотность движения, тем больше
чувствительность водителя.
На показатель
чувствительности водителя оказывает
влияние и интенсивность движения, о чём
свидетельствует размерность этого
показателя (авт/ч) при использовании
в уравнении (6) размерностей: для скорости
свободного движения
,
для плотностей
и
.
Среднюю скорость транспортного потока при интенсивности движения N, без учёта скорости движения отдельных групп (пачек) автомобилей, и основную диаграмму «интенсивность – скорость» получают в данной теории по любому из следующих (эквивалентных) уравнений (рис.3):
;
(7)
,
(8)
где
- обеспеченная дорожными условиями
скорость свободного движения, определяемая
при заданном составе потока по допустимому
риску (
)
возникновения ДТП. Эту скорость в данной
теории устанавливают для каждого
выделенного участка дороги с проектными
или фактическими параметрами плана,
продольного и поперечного профиля
дороги, км/ч. Методики определения
включают в себя определение допустимой
скорости свободного движения в зависимости
от всех рисков, которые могут произойти
на конкретном участке дороги (см. формулы
( ) – ( ) и другие);
- интенсивность движения разнородного по составу транспортного потока, авт/ч ;
- приведённая к
потоку легковых автомобилей интенсивность
движения, легк.авт/ч;
- плотность транспортного потока при интенсивности движения , определяемая по ниже приведённым формулам, авт/км;
- плотность при заторе легковых
автомобилей, легк.авт/км;
- плотность при заторе смешанного (фактического) транспортного потока, авт./км.
В формуле (8) знак «–» применяют при построении правой ветви основной диаграммы «интенсивность – скорость», а знак «+» - при построении её левой ветви (рис.3,а).
Справедливость
эквивалентно работающих формул (7) и (8)
подтверждается тем, что формула (7)
впервые была получена В. Гриншилдсом
в 1934 г на основе линейной аппроксимации
зависимости скорости транспортного
потока от плотности потока
и отношения плотности потока к плотности
при заторе
(при
)
[1].
Скорость группы (пачки) автомобилей (см. кривую 2 на рис.3) при интенсивности движения N определяют по уравнению:
.
(9)
Границами применения
уравнения (9) в соответствии с диаграммой
«интенсивность – скорость» (см. рис.3,а)
являются: скорость свободного движения
на оси абсцисс (при
)
и пропускная способность участка дороги
на оси ординат (при
).
Все параметры уравнения (9):
,
,
и
зависят от состава движения, дорожных
условий, риска допускаемого водителями
на конкретном участке дороги и состояния
покрытия.
Рис.3. Основные диаграммы теории транспортного потока «интенсивность-скорость» (a) и «интенсивность-плотность» (б), построенные по формулам: (8) и (11) – обе ветви основных диаграмм, обозначенные как кривые 1;
(9) и (14) – ветви скорости и плотности движения пачек автомобилей (кривые 2);
(10) и (15) – ветви скорости и плотности движения транспортного потока с учётом скорости и плотности движения пачек автомобилей (кривые 3);
(7) и (17) – ветви скорости и плотности рассасывания пробки (кривые 4)
Среднюю скорость транспортного потока с учётом средней скорости движения отдельных пачек автомобилей (см. кривую 3 на рис.3,а) определяют при конкретных значениях интенсивности движения по уравнению:
,
(10)
где
- коэффициент загрузки движением на
участке дороги, определяемый по формуле
(1);
и
- скорости движения, определяемые
соответственно по уравнениям (8) и (9),
км/ч.
Формула (7) даёт такие же скорости транспортного потока, как и уравнение (8) при вычислении плотности по уравнению, описывающему основную диаграмму «интенсивность – плотность» (рис.3,б):
.
(11)
В формуле (11) знак «–» применяют при построении левой ветви диаграммы «интенсивность – плотность», а знак «+» - при построении правой ветви (рис.3,б).
Обозначив среднюю
скорость транспортного потока,
определяемую при знаке минус перед
радикалом в уравнении (8), в виде
,
а среднюю плотность потока
,
определяемую по уравнению (11) так же при
знаке минус перед радикалом, получаем
так называемое основное уравнение
теории транспортного потока:
.
(12)
Такое же уравнение получаем при использовании знаков «+» в формулах (9) и (11) в виде:
,
(13)
где
- минимальная скорость транспортного
потока при интенсивности движения
(левая
ветвь диаграммы на рис.3,а), км/ч;
-
максимальная плотность, при которой
транспортный поток при интенсивности
ещё движется (правая ветвь диаграммы
на рис.3,б), авт/км.
Дальнейшее (даже незначительное) увеличение плотности приводит к тому, что транспортный поток останавливается, а плотность продолжает увеличиваться за счёт приезжающих автомобилей и уплотнения автомобилей внутри пачки до плотности при заторе ( ).
Среднюю плотность в движущейся группе автомобилей при интенсивности движения N устанавливают на основе показателя чувствительности водителя [см. формулу (6) и кривую 3 на рис.3,б] по зависимости:
.
(14)
Границами применения уравнения (14) в соответствии с диаграммой «интенсивность – плотность» (см. рис.3,б) являются: скорость свободного движения на оси абсцисс (при ) и пропускная способность участка дороги на оси ординат (при ). Все параметры: , , и уравнения (14), как и уравнения (9) зависят от состава движения, дорожных условий, риска допускаемого водителями на конкретном участке дороги и состояния покрытия.
Среднюю плотность транспортного потока, учитывающую среднюю плотность движения отдельных пачек автомобилей, (см. кривую 3 на рис.3,б) определяют при конкретных значениях интенсивности движения по уравнению:
,
(15)
где - см. формулу (1);
и
- плотности движения, определяемые
соответственно по уравнениям (11) и (14),
авт/км.
Скорость и плотность потока автомобилей, определённые по формулам (10) и (15), соответствуют таким значениям, при которых для всех интенсивностей движения остаётся справедливым основное уравнение теории транспортного потока:
.
(16)
Данная теория транспортных потоков дополнила основные диаграммы «интенсивность-скорость» и «интенсивность-плотность» важными кривыми для понимания процессов, происходящих в потоках автомобилей и следующими выводами.
Левая ветвь
зависимости «интенсивность-скорость»
и правая ветвь зависимости
«интенсивность-плотность» соответствуют
минимальной скорости (
)
и максимальной плотности (
)
транспортного потока, при которых поток
автомобилей ещё движется. Любое, даже
незначительное, превышение максимальной
плотности при интенсивности движения
N (независимо от
природы этого возмущения) приводит к
остановке транспортного потока и
образованию затора. Плотность движения
при этом увеличивается от
до
,
а скорость движения падает от
до нуля (см. рис.3а,б). В режиме пропускной
способности (при
)
возможно только одно сочетание скорости
и плотности (для данных дорожных условий
и данного состава потока), которые
принято обозначать, как
и
.
Значения этих параметров (
и
)
можно установить по формулам (8) и (11),
когда разность многочленов под радикалами
равна нулю (то есть, при:
и
).
Режим пропускной способности неустойчив.
Незначительное превышение плотности
относительно
(независимо от природы этого возмущения)
приводит к остановке транспортного
потока и образованию затора. При этом
плотность быстро увеличивается от
оптимальной плотности (
)
до плотности при заторе (
),
так как объём движения максимален.
При любой
интенсивности движения, даже близкой
к пропускной способности, имеется
возможность изменения плотности от
средней (
)
до максимальной плотности (
)
и скорости от средней (
)
до минимальной скорости (
).
Однако с увеличением загрузки дороги
эта возможность (уплотнения и снижения
скорости) стремительно уменьшается.
При этом средняя скорость потока
снижается, а средняя плотность
увеличивается (см. рис.3а,б).
С ростом интенсивности
движения увеличивается возможность
появление пачек (отдельных групп)
автомобилей. Средняя скорость и средняя
плотность движения (
и
)
отдельных групп автомобилей описываются
кривыми, находящимися внутри основных
диаграмм «интенсивность-скорость» и
«интенсивность-плотность» (см. рис.3а,б).
При высокой интенсивности движения и
при её росте средняя скорость и средняя
плотность в отдельных группах автомобилей
стремительно приближаются к характеристикам
пропускной способности, то есть к
и
.
При этом длины групп автомобилей
увеличиваются, интервалы между группами
сокращаются и при
группы автомобилей сливаются, образуется
колонный режим движения (см. рис.3а,б).
Автор работы [1] считает, что подход к теории транспортных потоков на базе основных диаграмм «интенсивность-скорость» и «интенсивность-плотность» себя исчерпал, и предлагает новую парадигму формирования этой теории, основанную на анализе рассасывания плотностей при заторе и на использовании вместо динамических габаритов транспортных средств их физических габаритов. Если в данной статье нам не удалось доказать, что «старая парадигма» себя не исчерпала, то представим ещё одно уравнение, показывающее как происходит рассасывание затора.
Отметим сразу, что
плотность
зависит от состава транспортных средств
и дорожных условий на участке затора,
а плотность
кроме названных характеристик (состава
движения и дорожных условий) зависит
ещё и от интенсивности движения [см.
рис.3 и формулу (13)]. Поэтому когда затор
уже состоялся (независимо по какой
причине он возник), выход транспортного
потока из заторного состояния, то есть
момент, когда все автомобили в пробке
приходят в движение, происходит не
сразу и не тогда, когда на локальных
участках становится справедливым
уравнение (13). Причём интенсивность
рассасывания пробки в этом случае
определяется как количеством автомобилей
подходящих к участку затора за единицу
времени, так и интенсивностью рассасывания
головной части пробки. Последняя из них
может быть названа фактической
интенсивностью на момент начала
рассасывания затора. Если интенсивность
пополняющая пробку превышает интенсивность
рассасывания затора, то в головной части
длина пробки сокращается, а в хвостовой
увеличивается и пробка как бы отползает
назад. Это происходит, как правило, при
ДТП, когда объезд участка аварии
затруднён. С какой интенсивностью пробка
увеличивается в хвостовой части с такой
же интенсивностью, как минимум, она
должна рассасываться. Ели это происходит,
то после вполне определённой задержки
весь затор приходит в движение. Задержка
начала движения всего потока происходит
потому, что плотность во всём заторе не
может измениться одновременно (в один
момент) от плотности при заторе (
)
до максимальной плотности (
),
при которой возникает зависимость
плотности от интенсивности движения,
а значит, весь поток приходит в движение.
Только на отдельных участках затора,
где мгновенная плотность (при интенсивности
движения, определяемой на момент
рассасывания затора) соответствует
уравнению (13) возникает локальное
движение с минимальной скоростью
.
Участок дороги, на котором начинается рассасывание затора, как правило, расположен в головной части затора, и появляется в связи с ликвидацией причины образования пробки. Длина участка рассасывания затора постепенно увеличивается по направлению от головной части к хвостовой части пробки, а весь транспортный поток находится в движении, если средняя плотность на участке затора (при интенсивности движения N) снижается до значения плотности, при которой происходит рассасывание пробки, определяемой по формуле:
.
(17)
Подстановкой данной плотности в уравнение (7) получают среднюю скорость рассасывания пробки, которая несколько выше минимальной скорости потока, определяемой формулой (13). Кривые, показывающие среднюю плотность и среднюю скорость рассасывания затора в зависимости от интенсивности движения N, обозначены на рис.3 цифрой 4. Петли гистерезиса в масштабе основных диаграмм «интенсивность-скорость» и «интенсивность-плотность» описываются соответствующими уравнениями и кривыми 1 и 4 на рис.3,а,б.
Дальнейшее снижение плотности потока приводит к реализации всех кривых основных диаграмм «интенсивность-скорость» и «интенсивность-плотность». Другими словами, исходя из плотности при заторе, мы получаем переход к тем же уравнениям, описывающим связь между интенсивностью, скоростью и плотностью движения.
Для расчёта по
формулам (8) – (17) параметров
,
,
предварительно вычисляют следующие
характеристики, связанные с дорожными
условиями участка дороги и составом
движения:
- величину пропускной способности полосы движения по формуле
,
(18)
где и - то же, что в формуле (8);
- количество
автомобилей i-й группы
в составе транспортного потока, %
- коэффициент
приведения автомобилей i-й
группы к легковым автомобилям (табл.
2);
- приведенную к легковым автомобилям интенсивность движения
;
(19)
- плотность при заторе смешанного (фактического) потока автомобилей (авт/км)
;
(20)
- оптимальную плотность транспортного потока, соответствующую режиму пропускной способности (авт/км)
.
(21)