10.5 Обертання площини поляризації

Деякі речовини (наприклад, з твердих тіл – кварц, цукор, кіновар, з рідин – водні розчини цукру, глюкози, скипидар, винна кислота), які називали оптично активними, мають властивість обертати площину поляризації.

Обертання площини поляризації можна спостерігати на такому досліді (рис.24).

Якщо між схрещеними поляризатором Р і аналізатором А, які дають темне поле зору, розмістити оптично активну речовину (наприклад, кювету з розчином цукру), то поле зору аналізатора просвітлюється. При обертанні аналізатора на деякий кут φ, можна знову отримати темне поле зору. Кут φ і є кутом, на який оптично активна речовина обертає площину поляризації світла, що проходить крізь поляризатор. Оскільки обертанням аналізатора можна отримати темне поле зору, то світло, що проходить крізь оптично активну речовину, можна вважати плоскополяризованим.

Досліди показують, що кут обертання площини поляризації для оптично активних кристалів і чистих рідин дорівнює φ = αd,

для оптично активних розчинів φ = [α]Cd, (37)

де α([α]) – так зване питоме обертання, яке чисельно дорівнює куту оберту площини поляризації світла шаром оптично активної речовини одиничної товщини (для розчинів – одиничної концентрації); С – об’ємно-вагова концентрація оптично активної речовини в розчині, кг/м3; d – товщина шару оптично активної речовини, який пройдений світлом.

Питоме обертання площини поляризації і ,зокрема, формула (37) лежить в основі дуже точного методу швидкого визначення концентрації розчинів оптично активних речовин, який називають поляриметрією. Для цього використовують установку, що показана на рис. 24. Вимірявши кут оберту площини поляризації φ та знаючи [α] з формули (37), можна визначити концентрацію розчиненої речовини.

10.6 Ефект Фарадея

В 1845 году Майкл Фарадей обнаружил, что линейно поляризованный свет, распространяющийся вдоль постоянного магнитного поля в веществе, испытывает вращение плоскости поляризации. Это открытие стало первым доказательством прямой связи оптических и электромагнитных явлений. Сам Фарадей писал: "Мне удалось намагнитить и наэлектризовать луч света и осветить магнитную силовую линию".

Эффект Фарадея объясняется тем, что оптические свойства намагниченного вещества нельзя охарактеризовать одним показателем преломления n. Под действием магнитного поля показатели преломления n+ и n- для циркулярно право- и левополяризованного света становятся различными. Вследствие этого право- и левополяризованные составляющие линейно поляризованного света распространяются вдоль магнитного поля через вещество с разными фазовыми скоростями. Возникает разность их хода, линейно зависящая от длины пути. В результате плоскость поляризации монохроматического света с длиной волны l, прошедшего в среде путь l, поворачивается на угол θ = pl(n+- n-)/l. В слабых магнитных полях разность (n+-n-) линейно зависит от напряженности поля H и угол фарадеевского вращения описывается формулой где V (постоянная Верде) зависит от длины световой волны, свойств вещества и его температуры.

Наиболее сильное вращение плоскости поляризации наблюдается в очень тонких прозрачных слоях ферромагнетиков.

Эффект Фарадея тесно связан с эффектом Зеемана, заключающимся в расщеплении уровней энергии атомов в магнитном поле. При этом переходы между расщеплёнными уровнями происходят с испусканием фотонов правой и левой поляризации, что приводит к различным показателям преломления и коэффициентам поглощения для волн различной поляризации. Грубо говоря, различие скоростей различно поляризованных волн обусловлено различием длин волн поглощаемого и переизлучаемого фотонов.

Строгое описание эффекта Фарадея проводится в рамках квантовой механики.

14.1Зонна структура твердого тіла.

тверді тіла поділяються на аморфні і кристалічні.Фізика твевдого ті-ла більше вивчає кристалічні,ніж аморфні.Сили,що звязують структурні одиниці у твердих тілах, практично електричного походження.У великого числа тотожніх атомів,які знаходяться один від одного на досить великих відстанях,взаємодія їх між собою практично відсутня,тоді кожен з атомів поводить себе як ізольований.Йому властиві певні енергетичні рівні.Система з Nвіддалених атомів буде мати ті ж рівні енергії,але кожен рівень повториться N разів.Якщо неперервно наближати атоми один до одного,то виникне взаємодія між ними,внаслідок чого кожен початковий енергет. рівень почне якось неперер. зміщ.З великої кіль-ті N атомів утв. кристал.

Енергетичний спектр кристала скл.з декіль.смуг,які наз.енергетичними зонами,кожна з яких виникає внаслідок розщеплен.енерг.рівнів атомів їх взаємодією. Впроцесі цього розщеплення беруть участь валентні електрони,тобто електрони зовн.шарів атомів. Через надзвичайно велику кіль-сть рівнів,на які зазнають розщеплення ен.рівні ізол.атомів,енергія кри.в межах кожної зони змін.неп.Сусідні ен.зони можуть бути розд.проміжками скінч.ширини.Енергія кри.не може набирати значень,що належ.цим проміжкам. Вони утв.в ен.спектрі кри.“щілини”,які наз. забороненими зонами.Всі інші зони наз.дозволеними.

14.2Квантова статистика Фермі-Дірака.

Для визн.власт.систем,які скл.з величезної кіль-сті части-

нок,рух яких підпорядкований квантовій механіці,ств.ква

нтова статистика.Статистична теорія,що базується на мо-

делі Ф-Д наз.статистикою Ф-Д. Якщо в певному стані мо-

же знаходитись не більше 1 частинки,то це модель Ф-Д.

Системи частинок,які опис.антисиметрич.функціями, підлягають статистиці Ф-Д.

У шматку металу обємом V, у якому є N выльних ел-нів,збудуємо простір імпульсів з осями координат Px,Py, Pz.Поділимо цей простір на елементар.комірки h^3/V.Ко-

жній такій комірці відпов.певний квант стан з ен. E.Ф-я розподілу виражає ймовірність заповнення цих комірок електронами. Статистичний розрахунок Ф-Д:

f(E)=1/e^E−/ kT 1,де Е-ен.,що відпов. Заповн-

юваній комірці,k-стала Больцмана,-хім.потенціал 1 част.

Розподіл ел-нів по ен. зонах

Хай існують ел-ни,ен.яких знах.в інтервалі від E до E+dE. Якщо збуд.у просторі імпульсів 2 концентричні сфери з радіусами р і р+dp, то цим сферам відпов.ен. E і E+dE. Обєм шару між цими сферами =4Пр^2dp.У цьому шарі розташ. Z елементар.комірок h^3/V:

Z=4Πp^2dp/h^3/V.

Число ел-нів в одиниці обєму металу,ен.яких лежить в інтервалі від E до E+dE,одержимо,помноживши число комірок на f(E) і на 2.Тоді

dn(E)=4Пр^2dp/h^3(e^((E-Ef)/kT)+1),де р^2=2mE

Валентна зона і зона провідності

Електрони у тв.тілі можуть мати тількі ті ен.,значення яких лежить всередині ен.смуг,тобто в зонах дозвол.ен. Проміжки між ними явл.собою ен.,що їх електрони данної реч.набувати не можуть(забор. зони).Із збіль.ен.ел-на в атомі ширина дозв.зон збіль.,а ширина забор.зон -зм. У хім.ел-тів,що мають структуру алмаза — зони, що виник. Із s- і p-рівнів, перекрив.і розподіл.на 2 зони так, що в кожній із них міститься по 4 стани на атом:1 s-стан і по 3 p-стани. Ці зони розділ.забор.зоною. Нижню дозвол. зону наз.валентною,а верхню-зоною провідності.В алма-

за ширина забор.зони=6еВ. Це означ.,що ел-нові треба передати min 6еВ додаткової ен., щоб він міг перейти з вал.зони в зону провідності.

Якщо дно зони провідності розміщено трохи нижче, ніж вірхній рівень вал.зони, то речовина є напівметалом.

Якщо вал.зона і зона провідності не перекрив.,але верхній рівень вал.зони дотик.до ниж.рівня зони провід., то речовина є безщілинним напівпровідником.

Хвильові властивості мікрочастинок

де Бройль припустив,що будь-якій частинці речовини масою m,яка рухається зі швид. V, можна зіставити хвил.процес,для якого ен.і імпульс збіг.з тими знач.ен.і імпульсу рух.частинки,які задаються теорією відносності і рух.част.мають відпов.певні частота і довжина хвилі:

E=hσ p=hk/2П,де k=2П/ λ λ=h/mV

Відповідно до гіпотези, потоку вільних ел-нів притаманні як корпускулярні, так і хвильові властивості.

Фазова швидкість:Vф=с^2/V

Групова швидкість: U=V,т.я. U=dE/dp і E=p^2/2m

Довжина хвилі де Бройля: U=h/(mэл*V)

Дослідне обгрун. корпускулярно-хвиль. дуалізму?????

Перпендикулярно до шліфованої площини мішені у вакуумі падав моноенергетичний пучок ел-нів,що випромін. Ел-ною гарматою.Шліфована поверхня мішені паралельна кристалографічній площині з індексами Міллера(1,1,1).Для уловлювання розсіяний ел-нів застос.

Подвійний циліндр Фарадея з надійною кварцовою ізоляцією між зовн.і внутр.циліндрами. Внутр.циліндр був зєднаний з чутливим гальванометром. Щоб усунути вплив непружно розсіяних ел-нів,які при розсіюв.втратили більшість своєї ен., на зовн.циліндр подавався значний “-” потенціал,що був в 10 разів менше прискорювального потенціалу.Приймача могли досягти тільки ел-ни,що зазнали пружнього розсіювання.У дослі-

ді вимірювався струм ел-нів залужно від кута розсіюв.та ен.падаючих ел-нів.З погляду уявлень класичної механіки можна чекати залужності сили струму від зміни кута чи прискорювальної напруги U.У досліді на очікуваному фоні розсіювання виявлено max сили струму відбитих ел-нів, коли їх ен.=54еВ,а кут=50.За ф-лами Бругга-Вульфа та довжини хвилі де Бройля,ми отримаємо однакову довжину хвилі.Такий збіг рез-тів досить переконливо підтв.правильність гіпотези де Бройля.

Ф-ла де Бройля

див. Хвильові властивості мікрочастинок та дослідне обгрунтування корпускулярно-хвильового дуалізму.

Фазова швидкість:Vф=с^2/V

Групова швидкість: U=V,т.я. U=dE/dp і E=p^2/2m

Довжина хвилі де Бройля: U=h/(mэл*V)

Співвіднош. невизнач. Гайзенберга

Переміщення мікрочастинки необх.повязувати з хвильо-вим процесом і рівняння,яке описує її рух, хар-зуватиме умови пошир.відпов.хвилі ле Бройля.У цьому випадку визначення місця знаходження мікрочаст.в будь-який момент часу не має фіз.змісту.

Розглянемо випадок, коли рухається частинка з пост.шв. V. У цьому разі рухомій частинці відпов.монохром.хвиля де Бройля.Якщо хвиля плоска,то при пошир.вздовж осі Ox вона займає необмеж.част.простору. Т.я.хвиля монохром., то їй відпов.цілком певне значення імпульсу Px. Будь-яку реальну хвилю можна розгляд.як руз-тат накладання плоских хвиль(хвильовий пакет).Невизначе-

ність імпульсу частинки, звязаної з хвиль.пакетом,оціню-єтьсяінтервалом імпульсів складових хвиль:ΔPx=hΔλ/λ² Чим вужчий інтервал Δх локалізації хвилі,тим ширший інтервал довжин інтерферуючих хвиль Δλ утв.хвильовий пакет. Тоді зростає величина Δpx. Координата х і проек-ція імпульсу мікрочастинки не можуть одночасно мати певні фікс.значення,а можуть набирати будь-які значення у відповідних інтервалах,звідки випливає формула:

Δх*Δpx>=h/2П-співвідношення невизначеності Гейзен-берга. Δt*hɷ/2П>=h-співвідношення невизначеностей Гейзенберга для часу і енергії.

Хвильова функція та її статистичний зміст

Хвильова ф-я позначається символом Ψ(псі-ф-я).ПФ вводиться як деякий допоміжний символ і не віднос.до безпосередньо спостережуваних величин.Проте її знання дає можливість статистично завбачити значення величин,які одержують експериментально і які мають реальний фіз зміст. ПФ є ф-єю координат і часу,тобто Ψ= Ψ(x,y,z,t).Введення хвильової ф-ї для описання руху мікрочастинок зумовлено їх корпускулярно-хвильовим дуалізмом. Рух будь-якої окремої мікрочастинки підпорядкований статистичним закономірностям. Розподіл імовірностей, що характеризують цей рух, проя-вляється після реєстрування досить великої кіль-сті кастинок.

Квадрат амплітуди хвилі визначає ймовірність попадання фотона в дану точку поверхні,а квадрат модуля хвильової функції для будь-якої точки простору, помножений на елементариний обєм dV,що включає цю точку,має визначати ймовірність dP знаходження частинки в межах обєму dV:

dP=lΨl²dV.

Загальне рівняння Шредінгера

Рівняння Шредінгерадля руху частинок у вільному прос-торі,в якому відсутні силові поля,має вигляд:

(ih/2П)*ð Ψ/ ðt=-(ħ²/2m)*Δ Ψ,де і=(-1)½,Δ-оператор Лапласа.

Для випадку руху частинок у потенціальних силових полях рівняння Шредінгера має вигляд:

(ih/2П)*ð Ψ/ ðt=-(ħ²/2m)*Δ Ψ+U(r)Ψ,де U(r)-потенціальна ф-я або потенціальна енергія,які характеризують потенціальне силове поле.

Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів

Особливе значення в квантовій механіці мають стаціонарні стани,за яких усі спостережувані фізичні параметри не змінюються з часом.Не повинні змінюватися з часом тільки фізично спостережувані величини,які можуть бути утворені з Ψ за правилами квантової механіки.

Хвильову ф-ю будь-якого стаціонарного стану однієї частинки можна подати у вигляді:

Ψ(x,y,z,t)=φ(x,y,z)e^(-iɷt),де частота — постійна, а ф-я фі- не залежить від часу. Якщо у попереднє рівняння під-ставити рівняння (ih/2П)*ð Ψ/ ðt=-(ħ²/2m)*Δ Ψ+ U(r)Ψ та за аналогією із світовими квантами прийняти гіпотезу,що величина ħɷ являє собою повну енергію E у стаціонарному стані, то для енергії в стаціонарному стані одержимо рівняння Δφ+(2m/ħ²)*(E-U(r))φ=0.У це рівняння час не входить, і воно наз.рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів. Ф-я U(r) визначає-ться так, наче ніяких хвильових властивостей частинка не має.

Розгляд руху мікрочастинок на підставі р. Шредінгера

Для випадку руху частинок у потенціальних силових полях рівняння Шредінгера має вигляд:

(ih/2П)*ðΨ/ðt=-(ħ²/2m)*ΔΨ+U(r)Ψ,де U(r)-потенціальна ф-я або потенціальна енергія,які характеризують потенціальне силове поле.Єдиними непотенціальними силами,які зустрічаються в атомній фізиці,є магнітні сили. Вказане рівняння справджується тільки в нерелятивістській квантовій механіці, тобто для рухів повільних порівняно з “с”. Потенціальна функція U(r) у рівнянні розглядається так само,як і в класичній фізиці, тобто як ф-я локалізованої частинки в силовому полі.

Частинка в нескінченно глибокій одновимірні потенціальній ямі

Розглянемо застосування рівняння Шредінгера до розвя-зування задач,які деякою мірою наближено моделюють рух електрона в атомі, коливання атомів у молекулах і т.д. Нехай частинка рухається в не скінченно глибокій потенціальній ямі. Цей випадок є досить грубим набли-женням до задачі про рух електрона в атомі.

Для одновимірної задачі стаціонарне рівняння Шреді-нгера матиме вигляд:

d²φ/dx²+2m(E-U)φ/ ħ²=0

Для 0<x<L потенціальна енергія електрона стала і можна прйиняти U=0, т.я.за початковий рівень її вимірювання можна вибрати жовільне значення. Тоді рівняння перепи-сується так:

d²φ/dx²+2mEφ/ ħ²=0

Оскільки потенціальна яма нескінченно глибока, то електрон знаходиться всередині цієї ями і залишити він її не може. Імовірність знаходження електрона в областях

x<0 та x>L дорівнює нулю, і ф-я φ в цих областях також дорівнює нулю.Тому граничні умови для даної задачі в силу неперервності хвильової ф-ї будуть дорівнювати нулю.

Квантування енергії та імпульсу частинки

У квантовій механіці доведено, що орбітальне квантове число l визначає момент імпульсу електрона в атомі, а орбітальне магнітне квантове число m-проекцію цього моменту на заданий напрям у просторі.

Момент імпульсу може набирати тільки такі значення:

M=ħ(l(l+1))½.Проекція цлього моменту на заданий напрям Z визначається співвідношенням:Mz=mħ. Отже, орбітальне магнітне квантове число m визначає проекцію моменту імпульсу на напрям осі Z в одиницях ħ.

Одержані рез-ти,які визнач.можливі значення M і Mz, наз.просторовим квантуванням.

Рівняння Шредінгера в полярних координатах має розвязки за умови, коли власні значення енергії атома набирають значення:En=-mэл*Z²e4/(32ПE²oħ²n²),що відповідає квантуванню енергії.

Тунельний ефект

Розглянемо задачу,коли частинка рухається вздовж осі Ох і зустрічає потенціальний барєр висотою Uo і шириною L. Умова цієї задачі така: частинка рухається зліва напра-во папалельно осі Ох у полі,яке ми розділимо на 3 обл. В області L при х<0 потенціальна ф-я U=0, в обл. 2 при 0<=x<=L потенціальна ф-я стала і відмінна від нуля, тобто U=const, в обл.3 x>L U=0. Якщо 2 обл. Простору відокремлені одна від одної потенціальним барєром, усередині якого U>E, то за законами класич.фізики проникнення частинки крізь пот.барєр неможливе. У хвильовій теорії уявному значенню імпульсу відповідає тільки експотенціальна залежність хвильової ф-ї від координати.Тому зовсім інша картина має місце для квантових частинок.

Характерним є те, що енергія частинки, що проходить крізь потенціальний барєр не змінюється. Частинка виходить за межі барєра з тією ж енергією, з якою в нього входила. Проходження частинки через потенціальний ба-рєр наз.тунельним ефектом, бо частинка не піднімається на вершину барєра, а проходить його нижче, ніби через тунель. Основи теорії тунельних переходів розроблені Л. І. Мандельштамом і М.О. Леонтовичем.

Головне, орбітальне і магнітне квантові числа

En=-mэл*Z²e4/(32ПE²oħ²n²)-рівняння Шреденгера для атома водню,що залежить від трохь квантових чисел: n,l,m. Квантове число n наз.головним. Число l наз.орбітальним квантовим числом,а m-орбітальним магнітним квантовим числом. Квантові числа можуть набирати такі значення:

n=1,2,3,...

l=0,1,2,...,n-1;

m=0,±1,±2,...,±l.

У випадку заданого значення n квантове число l може набирати n різних значень, а кожному значенню l відповідає 2l+1 різних значень квантового числа m. З цього випливає, що одному енергетичному рівню з квантовим числом n відповідає декілька наборів значень чисел l і m. Кількість таких наборів знаходиться за ф-лою: (l від 0 до n-1)Σ(2l+1)=n².

Таким чином, певному значенню гол.квантового числа n, крім n=1,відповідає сукупність хвильових ф-ій для n,l,m. Це озн.,що атом може мати те саме значення енергії, але знаходитиметься в декількох різних станах. Стани з однаковими значеннями енергії наз.виродженими, а їх кількість наз.кратністю виродження.Для даного квантового числа n кратність виродження станів дорівнює n².

Спін електрона

Магнітний момент атома срібла має визначатись орбітальним рухом валентного електрона.Оскільки атом срібла знаходиться в не збудженому стані, тобто валентний електрон знаходиться в s-стані(l=0), то його момент імпульсу дорівнює нулю,а отже, і магнытний момент атома, зумовлений орбітальним рухом валентного електрона,також дорівнює нулю.Це озн.,що пучак атомів срібла не повинен розщеплюватись в неоднорідному магнітному полі.За дослідом Штерна і Герхала, пучок атомів срібла в неоднорідному магнітному полі розщепи-вся на два пучки, і на скляній пластинці в досліді утворилось дві смужки. Досліди з атомами водню та з атомами лужних металів дали такі ж рез-ти. Їх можна пояснити припустивши, що електрон володіє спіном і звязаним з ним власним магнітним моментом.

Для характеристики спіна було введене нове кванотове число s. Відповідно до правила просторового квантування кількість можливих проекцій орбітального моменту дорівнює 2l+1. Аналогічно кількість проекцій для власного механічного моменту електрона (спіна) також має дорівнювати 2s+1.

Вводиться квантове число ms=±1\2,яке визначає проекції спіна на заданий напрям.

Принцип Паулі

Принцип Паулі полягає в тому, що в атомі не може бути двух електронів, які знаходяться в двох однакових стаціонарних станах, що визначаються однаковим набором чотирьох квантових чисел.Згідно з прнципом Паулі Будь-яка пара електронів багатоелектронного атома повинна мати набори з чотирьох квантових чисел, які відрізняються хоча б одним з них.

Спектри лужних металів

Спектры испускания атомов щелочных металлов, подобно спектру водорода, состоят из нескольких серий линий. Наиболее интенсивные из них получили названия: главная, резкая, диффузная и основная (или серия Бергмана). Эти названия имеют следующее происхождение. Главная серия названа так потому, что наблюдается и при поглощении. Следовательно, она соответствует переходам атома в основное состояние. Резкая и диффузная серии состоят соответственно из резких и размытых (диффузных) линий. Серия Бергмана была названа основной (фундаментальной) за свое сходство с сериями водорода.

Спектри та будова багатоелектронних атомів

для багатоелектронних атомів енергія електронів залежить як від квантового числа n, так і від квантового числа L. Правило заповнення електронних шарів атомів при зростанні суми n+L, сформулював О.Маделунг.Для кожного значення суми n+L заповнення выдбуваэться зі зростанням чмсла n, тобто взаємодія між електронами в атомі призводить до того,що для досить великих квантових чисел n, стани з більшим n і меншим L можуть мати меншу енергію, ніж стани з меншим nЮ але быльшим L. У цьому і полягає причина відхилень у заповненні станів електронами в атомі в періодичній системі елементів від дослідних заповнень.

Розподіл електронів в атомі по енергетичним рівням

В атомі водню є один електрон, який в основному стані характеризується квантовими числами n=1,l=0,mL=0, Ms=1/2 або -1/2. Два електрони в атомі гелію мають однакові числа n=1,l=0,mL=0,але рызны значення спынових чисел.Для одного Ms=1\2,для другого Ms=-1\2. Ці два електрони повністю заповнюють К-шар. В атомі літію є три електрони. З них два заповнюють К-шар, а третій буде у 2s-стані.

Хімічні властивості елементів повязані з будовою зовніш-нього електронного шару. Атоми з однаковою будовою зовнішнього елекронного шару мають однакову хім.активність.

Сумарний орбітальний і сумарний спіновий моменти електронів,які утворюють замкнуті електронні шари, дорівнюють нулю. Цим і пояснюєтсья хімічна інертність і високий потенціал іонізації атомів інертних газів.