20. Силовская p-подгруппа
В теории групп теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Теоремы доказаны норвежским математиком Силовом в 1872 г.
Необходимые определения
Пусть
—
конечная группа, а
—
простое
число, которое делит порядок
.
Подгруппы порядка
называются
-подгруппами.
Выделим из порядка группы
примарный
делитель по
,
то есть
,
где
не
делится на
.
Тогда силовской
-подгруппой
называется подгруппа
,
имеющая порядок
.
Теоремы
Пусть — конечная группа. Тогда:
Силовская -подгруппа существует.
Всякая -подгруппа содержится в некоторой силовской -подгруппе. Все силовские -подгруппы сопряжены (то есть каждая представляется в виде
,
где
—
элемент группы, а
—
силовская подгруппа из теоремы 1).Количество силовских -подгрупп
сравнимо
с единицей по модулю
(
)
и делит порядок
.
Следствие
Если все делители
,
кроме 1, после деления на
дают
остаток, отличный от единицы, то в
есть
единственная силовская
-подгруппа
и она является нормальной
(и даже характеристической).
21. Сопряжённый элемент группы
СОПРЯЖЕННЫЙ ЭЛЕМЕНТ к элементу . группы G - элемент х' такой, что
x'=g-1xg
для нек-рого элемента gиз G. Говорят также, что х' получается на хтрансформированием при помощи элемента g. Для С. э. используется иногда степенное обозначение: xg. Если А к В два подмножества группы G, то через А B принято обозначать множество
Множество
где
g - нек-рый фиксированный элемент из
G, наз. сопряженным с множеством Мв
группе G. В частности, две подгруппы
. и Vназ. сопряженными п о д-гр уппами,
если U=Vg для нек-рого
gиз G. Если подгруппа
Н=Н g для любого элемента
(т.
е. Нсодержит все элементы, сопряженные
с ее элементами), то Нназ. самосопряженной
подгруппой в G,или нормальным делителем.
КЛАСС СОПРЯЖЁННОСТИ
Класс сопряженных элементов группы F, состоящий из вещественных элементов, называется вещественным. [1]
Это указывает соответствие между классами сопряженных элементов группы % и множествами свободно гомотопных замкнутых геодезических пространства R, если пространство К - прямое. [2]
Если А оставляет неподвижным некоторый класс сопряженных элементов группы Я, то А оставляет на месте некоторый элемент этого класса. [3]
Тогда, если А есть класс сопряженных элементов группы GI, a Л2 - класс сопряженных элементов группы G2, то всевозможные произведения вида а а2, где а А, а2еЛ2, образуют класс сопряженных элементов самой группы G, и обратно, каждый класс сопряженных элементов группы G получается таким образом. [4]
Пусть G H содержится в некотором классе сопряженных элементов группы С. [5]
Все подобные друг другу перестановки вида а0асто, образующие класс сопряженных элементов группы S ( N), имеют одинаковую структуру циклов. [6]
Тогда, если А есть класс сопряженных элементов группы GI, a Л2 - класс сопряженных элементов группы G2, то всевозможные произведения вида а а2, где а А, а2еЛ2, образуют класс сопряженных элементов самой группы G, и обратно, каждый класс сопряженных элементов группы G получается таким образом. [7]
Пусть универсальное накрывающее пространство R пространства R - прямое и пусть Sk ь St принадлежит к классу сопряженных элементов группы, определенному классом кривых, свободно гомотопных К. Замкнутая геодезическая ( свободно гомотопная К, существует тогда и только тогда, когда Sft есть осевое движение. [8]
Тогда, если А есть класс сопряженных элементов группы GI, a Л2 - класс сопряженных элементов группы G2, то всевозможные произведения вида а а2, где а А, а2еЛ2, образуют класс сопряженных элементов самой группы G, и обратно, каждый класс сопряженных элементов группы G получается таким образом. [9]
Можно считать, что nl - 1, так как единица составляет класс. Элемент af составляет класс сопряженных элементов группы G тогда и только тогда, когда он принадлежит центру Z группы G. [10]
Все элементы одного класса сопряженных элементов, согласно сказанному выше, отвечают одной и той же орбите. Таким образом, устанавливается взаимнооднозначное соответствие между классами сопряженных элементов группы и периодическими орбитами. [11]
Поэтому такой элемент а характеризуется тем фактом, что он коммутирует со всеми элементами х алгебры: ах ха. Применяя термин, перенесенный из теории групп в алгебру, мы можем сказать: те элементы, чьи компоненты зависят только от класса сопряженных элементов группы, содержащего аргу мент s, образуют центр алгебры. [12]
Доказать, что: а-д 5, Ь - Ь, с - с - внешний автоморфизм группы G, который переводит каждый класс сопряженных элементов группы G в себя. [13]
Далее, сумму (8.4.19) можно представить, как сумму по классам сопряженных элементов [ рп ], где индекс р задает все примитивные элементы, а п фиксирует все их повторения, а также элементы каждого класса. Сумма по элементам классов сопряженных элементов может быть вычислена явно. В результате функция Грина будет представлена в виде суммы по классам сопряженных элементов группы, т.е. по примитивным орбитам. [14]
А обозначим через а образ элемента а в группе А при рассматриваемом представлении. Пусть ср - функция, отображающая группу А в некоторое кольцо многочленов над полем рациональных чисел, причем эта функция постоянна на классах сопряженных элементов группы А. Как обычно, функцию ср назовем функцией класса для группы А. Предположим, что группа А имеет. У, взятые по одному из каждой орбиты.