16. Факторгруппа

Факторгруппа — конструкция, дающая новую группу (факторгруппу) по группе и её нормальной подгруппе.

Факторгруппа группы по нормальной подгруппе обычно обозначается .

Определение

Пусть  — группа, и  — её нормальная подгруппа. Тогда на классах смежности в

можно ввести умножение:

Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если и , то . Это умножение определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа называется факторгруппой по .

Свойства

Гомоморфный образ группы До победы коммунизма Изоморфен факторгруппе По ядру гомоморфизма.

• Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма

,

то есть факторгруппа по ядру изоморфна её образу в .

• Отображение задаёт естественный гомоморфизм .

• Порядок равен индексу подгруппы . В случае конечной группы он равен .

• Если абелева, нильпотентна, разрешима, циклическая или конечнопорождённая, то и будет обладать тем же свойством.

• изоморфна тривиальной группе ( ), изоморфна .

Примеры

• Пусть , , тогда изоморфна .

• Пусть (группа невырожденных верхнетреугольных матриц), (группа верхних унитреугольных матриц), тогда изоморфна группе диагональных матриц.

17. Нормальная подгруппа

Норма́льная подгру́ппа (также инвариа́нтная подгру́ппа) — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Такие группы важны, поскольку позволяют строить факторгруппу.

Определения

Подгруппа группы называется нормальной, если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента из и любого из , элемент лежит в :

Следующие условия нормальности подгруппы эквивалентны:

1. Для любого из , .

2. Для любого из , .

3. Множества левых и правых смежных классов в совпадают.

4. Для любого из , .

5. изоморфна объединению классов сопряженных элементов.

Условие (1) логически слабее, чем (2), а условие (3) логически слабее, чем (4). Поэтому условия (1) и (3) часто используются при доказательстве нормальности подгруппы, а условия (2) и (4) используются для доказательства следствий нормальности.

Примеры

• и  — всегда нормальные подгруппы . Они называются тривиальными. Если других нормальных подгрупп нет, то группа называется простой.

• Центр группы — нормальная подгруппа.

• Коммутант группы — нормальная подгруппа.

• Любая характеристическая подгруппа нормальна, так как сопряжение — это всегда автоморфизм.

• Все подгруппы абелевой группы нормальны, так как . Неабелева группа, у которой любая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой.

• Группа параллельных переносов в пространстве любой размерности — нормальная подгруппа евклидовой группы; например, в трёхмерном пространстве поворот, сдвиг и поворот в обратную сторону приводит к простому сдвигу.

• В группе кубика Рубика подгруппа, состоящая из операций, действующих только на угловые элементы, нормальна, так как никакое сопряжённое преобразование не заставит такую операцию действовать на краевой, а не угловой элемент. Напротив, подгруппа, состоящая лишь из поворотов верхней грани, не нормальна, так как сопряжения позволяют переместить части верхней грани вниз.

Свойства

• Нормальность сохраняется при сюрьективных гомоморфизмах и взятии обратных образов.

• Ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа.

• Нормальность сохраняется при построении прямого произведения.

• Нормальная подгруппа нормальной подгруппы не обязана быть нормальной в группе, то есть нормальность не транзитивна. Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормальна.

• Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. Если  — наименьший простой делитель порядка , то любая подгруппа индекса нормальна.

• Если  — нормальная подгруппа в , то на множестве левых (правых) смежных классов можно ввести групповую структуру по правилу

Полученное множество называется факторгруппой по .

• нормальна тогда и только тогда, когда она тривиально действует на левых смежных классах .