
- •1. Группоид
- •Типы магм
- •2. Полугруппа
- •Примеры
- •4. Кольцо Определение
- •Простейшие свойства
- •Примеры
- •5. Радикал кольца
- •6. Поле
- •7. Алгебра
- •Свойства
- •8. Кольцо многочленов от нескольких переменных Определение
- •9. Симметрический многочлен
- •10. Порядок элемента группы
- •11. Порядок группы
- •12. Смежный класс
- •13. Симметрическая группа
- •Свойства
- •Представление симметрической группы в виде матричной
- •14. Знакопеременная группа
- •15. Циклическая группа
- •16. Факторгруппа
- •17. Нормальная подгруппа
- •18. Центр группы
- •19. Централизатор элемента группы
- •20. Силовская p-подгруппа
- •Необходимые определения
- •Теоремы
- •Следствие
- •21. Сопряжённый элемент группы
- •22. Идеал кольца
- •23. Главный идеал кольца
- •24. Кольцо главных идеалов
- •25. Сумма идеалов
- •26. Факторкольцо
- •27. Характеристика поля
- •28. Представление Определения и концепции
- •Определение
- •29. Модуль
- •30. Примитивный элемент
- •31. Тело
- •32. Алгебраическая система
- •Основные классы алгебраических систем
- •Группоиды, полугруппы, группы
- •Алгебры
- •33. Многообразие
- •35. Дистрибутивная решётка
- •36. Булева алгебра
- •37. Фильтр
- •Определение в рамках теории решёток
- •Фильтры на множествах
- •База фильтра
- •Сравнение фильтров
- •Фильтры в топологических пространствах
- •Примеры
- •38. Ультрафильтр
- •39. Ультрапроизведение
11. Порядок группы
Пусть
—
группа,
если
—
конечное
множество, то порядком группы
называется число элементов
и
обозначается
или
.
Если
—
бесконечно,
то порядок бесконечен.
12. Смежный класс
СМЕЖНЫЙ КЛАСС группы . но подгруппе
Н(л евый) - множество
элементов группы G, равное
где
а - нек-рый фиксированный элемент
из G. С. к. наз. также левосторонним С. к.
группы G по подгруппе Н, определяемым
элементом а. Всякий левый С. к.
определяется любым из своих элементов.
aН=H тогда и только тогда, когда
Для
любых
С.
к. aН и bН либо совпадают, либо не
пересекаются. Таким образом, группа
G распадается на непересекающиеся левые
С. к. по подгруппе Н - это разложение
наз. левосторонним разложением группы
Gпо подгруппе H. Аналогично определяются
правые смежные классы (множества На,
)
и правостороннее разложение группы G
по подгруппе H. Оба разложения -
правостороннее и левостороннее - группы
G по Нсостоят из одного и того же числа
классов (в бесконечном случае совпадают
мощности множеств этих классов). Это
число
(мощность)
наз. индексом подгруппы . в группе
G. Для нормальных делителей
левостороннее и правостороннее разложения
совпадают, и в этом случае говорят просто
о разложении группы по ее нормальному
делителю.
13. Симметрическая группа
Симметрической группой множества
называется
группа
всех перестановок
(то
есть биекций
)
относительно операции композиции.
Симметрическая группа множества
обычно
обозначается
.
Если
,
то
также
обозначается через
.
Но если
,
то
изоморфна
,
потому при конечном
считают,
что
равно
.
Нейтральным
элементом в симметрической
группе является тождественная
перестановка
,
определяемая как тождественное
отображение:
для
всех
.
Свойства
При
симметрическая группа некоммутативна.
При
симметрическая группа является неразрешимой (и напротив: при
— разрешимой).
В случае, если конечно, число элементов равно
(факториал n), где — число элементов . В частности,
Каждая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы
(Теорема Кэли).
Симметрическая группа допускает следующее задание:
(Можно считать, что
переставляет
и
.)
Максимальный порядок элементов группы - функция Ландау.
центр симметрической группы тривиален при .
Симметрическая группа является совершенной (то есть группа её автоморфизмов совпадает с самой группой) тогда и только тогда, когда ее порядок отличен от 2 и 6 (теорема Гёльдера). В случае
группа
имеет еще один внешний автоморфизм. В силу этого и предыдущего свойства при
все автоморфизмы являются внутренними, то есть каждый автоморфизм
имеет вид
для некоторого
.
Число классов сопряженных элементов симметрической группы равно числу разбиений числа n.[2].
Множество транспозиций
является порождающим множеством . С другой стороны, все эти транспозиции порождаются всего двумя перестановками
, так что минимальное число образующих симметрической группы равно двум.
Знакопеременная группа
является нормальной подгруппой . Причем
- единственная нормальная подгруппа , а при
имеет еще одну нормальную подгруппу - четверную группу Клейна.