7. Алгебра

Алгебра (универсальная алгебра) — множество , называемое носителем алгебры, снабжённое набором -арных алгебраических операций на , называемым сигнатурой, или структурой алгебры. Иными словами, универсальной алгеброй является алгебраическая система с пустым множеством отношений.

Свойства

Для универсальных алгебр имеет место теорема о гомоморфизме: если  — гомоморфизм алгебр, а  — ядерная конгруэнция (то есть , то факторалгебра изоморфна .

Для универсальных алгебр исследованы сопутствующие структуры: группа автоморфизмов , моноид эндоморфизмов , решётка подалгебр , решётка конгруэнций , в частности, показано, что для любой группы и решёток и существует такая универсальная алгебра , что , , .

Универсальная алгебра с одной бинарной алгебраической операцией называется группоидом (магмой).

8. Кольцо многочленов от нескольких переменных Определение

Многочлен от n переменных X₁,…, X_n с коэффициентами в поле K определяется аналогично многочлену от одной переменной, но обозначения становятся более сложными. Для любого мультииндекса α = (α₁,…, α_n), где каждое α_i — ненулевое целое число, пусть

X^α называется одночленом степени . Многочлен — это конечная линейная комбинация одночленов с коэффициентами в K: .

Многочлены от n переменных с коэффициентами в поле k (с обычными операциями сложения и умножения) образуют коммутативное кольцо, обозначаемое k[x₁,…, x_n]. Это кольцо можно получить многократным применением операции «взятие кольца многочленов над данным кольцом». Например, k[x₁, x₂] изоморфно k[x₁][x₂], как и k[x₂][x₁]. Это кольцо игрет фундаментальную роль в алгебраической геометрии. Многие результаты коммутативной алгебры были достигнуты благодаря изучению идеалов этого кольца и модулей над ним.

9. Симметрический многочлен

Симметри́ческий многочле́н — многочлен от n переменных , не изменяющийся при всех перестановках входящих в него переменных.

Примеры

• Дискриминант — многочлен вида , где  — корни некого многочлена от одной переменной: .

• Степенные суммы — суммы одинаковых степеней переменных, то есть

• Основные симметрические многочлены — многочлены вида

определённые для , то есть такие:

10. Порядок элемента группы

Описание

Пусть — группа и — элемент группы.

Определение 1. Говорят, что имеет порядок¹⁾ , если — наименьшее положительное число такое, что , то есть . Если такого положительного не существует, то говорят, что имеет бесконечный порядок²⁾. Порядок единичного элемента считается равным нулю.

Предложение 1. Пусть — конечная группа и — некоторый ее элемент. Тогда делит порядок группы .

Примеры

• В множестве целых чисел любой ненулевой элемент имеет бесконечный порядок.

• В группе классов вычетов элементы и имеют порядок 6, элементы и — порядок 3, элемент — порядок 2.

Определение:

Порядком элемента группы называется наименьшее , что . Если такого не существует, то говорят, что порядок бесконечен.

• Порядок любого ненулевого элемента в группе целых чисел по сложению равен бесконечности.

• Порядок элемента в группе вычетов по модулю конечен и равен двум, поскольку .

Утверждение:

В конечной группе у всех элементов конечный порядок.

Действительно, необходимо при некоторых совпадение степеней (иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок не больше : .

Определение:

-группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа . Порядок разных элементов может быть разным.

• Группа вычетов по модулю простого числа относительно сложения: .

• Циклическая группа порядка .