5. Радикал кольца

Правило , сопоставляющее каждому кольцу некоторый идеал , такой что

1. ;

2. ;

3. для любого гомоморфизма колец имеет место включение ,

называется радикалом¹⁾ кольца.

Для кольца идеалом называется подкольцо, замкнутое относительно умножения на элементы из . При этом идеал называется левым (соответственно правым), если он замкнут относительно умножения слева (соответственно справа) на элементы из . Идеал, являющийся одновременно левым и правым, называется двусторонним. Двусторонний идеал часто называется просто идеалом. В коммутативном случае все эти три понятия совпадают и всегда применяется термин идеал.

Более точно: Идеалом кольца называется такое подкольцо кольца , что

1. произведение (условие на правые идеалы);

2. произведение (условие на левые идеалы).

Аналогично для полугруппы её идеалом называется подполугруппа, для которой верно какое-нибудь из этих условий (или оба для двустороннего идеала), то же самое и для алгебры.

РАДИКАЛ ИДЕАЛА

Радикал идеала I — это множество . Оно тоже является идеалом кольца A, если только кольцо A коммутативно. В случае, когда I=(0), этот идеал называется нильрадикалом кольца A. Его элементами являются все нильпотентные элементы кольца. Если коммутативное кольцо не имеет нильпотентных элементов, кроме нуля, (имеет нулевой нильрадикал), — оно называется радикальным. Идеал I называется радикальным, если он совпадает со своим радикалом. В этом случае факторкольцо R/I не имеет нильпотентных элементов, кроме нуля.

6. Поле

По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями (аддитивная операция или сложение) и (мультипликативная операция или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей, все ненулевые элементы которого обратимы.

Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями (сложение) и (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению, и выполняется свойство дистрибутивности.

• Характеристика поля всегда 0 или простое число.

  • Поле характеристики 0 содержит , поле рациональных чисел.

  • Поле характеристики p содержит , поле вычетов по модулю .

• Количество элементов в конечном поле всегда равно , степени простого числа.

  • При этом для любого числа вида существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из элементов, обычно обозначаемое .

• Любой гомоморфизм полей является вложением.

Примеры

— рациональные числа,

— вещественные числа,

— комплексные числа,

— поле вычетов по модулю p, где p — простое число.

— конечное поле из элементов, где p — простое число, k — натуральное.

Дистрибути́вность (от латинского distributivus — «распределительный») — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве.

Говорят, что две бинарные операции + и × удовлетворяют свойству дистрибутивности, если для любых трех элементов :

— дистрибутивность слева;

— дистрибутивность справа.