Примеры

• Целые числа с операцией сложения. — коммутативная группа с нейтральным элементом 0.

• Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность и единица.

• Свободная группа с двумя образующими ( ) состоит из пустого слова, которое мы обозначаем (это единица нашей группы), и всех конечных слов из четырёх символов и таких, что не появляется рядом с и не появляется рядом с . Операция умножения таких слов — это просто соединение (конкатенация) двух слов в одно с последующим сокращением пар и .

• Симметрическая группа. Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной группой, которая называется симметрической группой, или группой перестановок. Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы (теорема Кэли).

• Циклические группы состоят из степеней одного элемента a. Такие группы всегда коммутативны. Примеры таких групп — упомянутые уже целые числа по сложению и группа корней из единицы.

• Группа кубика Рубика — подгруппа симметрической группы S₄₈, элементы которой соответствуют движениям кубика Рубика. Композиция двух движений снова является движением, для каждого движения существует обратный элемент, имеется ассоциативность и нейтральный элемент.

4. Кольцо Определение

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами, выполняющимися для любых :

1.  — коммутативность сложения;

2.  — ассоциативность сложения;

3.  — существование нейтрального элемента относительно сложения;

4.  — существование противоположного элемента относительно сложения;

5.  — ассоциативность умножения;

6.  — дистрибутивность.

Иными словами, кольцо — это универсальная алгебра , такая что алгебра  — абелева группа, и операция дистрибутивна слева и справа относительно .

Кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:

• наличие единицы: (кольцо с единицей);

• коммутативность умножения: (коммутативное кольцо);

Иногда под (ассоциативным) кольцом понимают кольцо с единицей. Но имеются примеры колец без единицы. Легче всего их построить как идеалы в кольце, не содержащие ненулевых идемпотентов, например кольцо чётных чисел, или многочленов степени 1 и выше.

Простейшие свойства

Непосредственно из аксиом кольца можно вывести следующие свойства:

• Нейтральный элемент относительно сложения в кольце единственен. Для любого элемента кольца обратный к нему по сложению элемент единственен.

• , то есть 0 — поглощающий элемент по умножению.

• , где  — элемент, обратный к по сложению.

• 

Примеры

•  — тривиальное кольцо, состоящее из одного нуля. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей. Этот тривиальный пример полезно считать кольцом с точки зрения теории категорий, так как при этом в категориях колец возникает терминальный объект.

•  — целые числа (с обычным сложением и умножением). Это важнейший пример кольца, так как любое кольцо можно рассматривать как алгебру над . Также это начальный объект в категории Ring колец с единицей.

•  — кольцо вычетов по модулю натурального числа n. Это классические примеры колец из теории чисел. Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда число n простое. Соответствующие поля являются отправной точкой для построения теории конечных полей. Кольца вычетов также важны при исследовании структуры конечнопорождённых абелевых групп, их также можно использовать для построения p-адических чисел.

•  — кольцо рациональных чисел, являющееся полем. Это простейшее поле характеристики 0. Оно является основным объектом исследования в теории чисел. Пополнение его по различным неэквивалентным нормам даёт поля вещественных чисел и p-адических чисел , где p — произвольное простое число.

• Для произвольного коммутативного кольца можно построить кольцо многочленов от n переменных с коэффициентами в . В частности, . Кольцо многочленов с целыми коэффициентами является универсальным кольцом многочленов, в том смысле что все кольца многочленов выражаются через тензорное произведение: .

• Кольцо бесконечно гладких вещественнозначных функций на многообразии  — это коммутативное кольцо с единицей. Умножение и сложение в нём определяются поточечно:

Нулевой элемент — функция, тождественно равная 0, единичный — тождественно равная 1. Обратимыми элементами в нём являются нигде не равные 0 функции, делителями нуля — функции, равные 0 на некотором открытом множестве в . Это кольцо не имеет нильпотентов, так как их нет в , а умножение поточечно. Если компактно, то максимальными идеалами в нём являются множества функций, зануляющихся в данной точке:

причём максимальные идеалы совпадают с простыми.

• Кольцо подмножеств множества  — это кольцо, элементами которого являются подмножества в . Операция сложения есть симметрическая разность, а умножение — пересечение множеств:

Аксиомы кольца легко проверяются. Нулевым элементом является пустое множество, единичным — всё . Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть . Любой элемент является своим обратным по сложению: . Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры, в частности в построении теории вероятностей.

• Кольцо когомологий — это важный топологический инвариант, связанный с любым топологическим пространством.

• Если  — кольцо в категории , то множество является кольцом (в обычном смысле) для любого объекта .

• Кольцо периодов — множество чисел, которые могут быть выражены как объём области в заданной системой полиномиальных неравенств с рациональными коэффициентами.