4.9. Проверка статистических гипотез относительно средних значений

Вопросы построения доверительных интервалов тесно связаны с проверкой статистических гипотез. Распределение и коэффициент Стьюдента используется при проверке статистических гипотез относительно среднего значения.

Рассмотрим следующий пример [22]. Пусть 10 терморезистивных датчиков откалиброваны в метрологической лаборатории так, что при 20 °С все они показывают сопротивление 1000 Ом. Это значение является истинным номинальным средним значением (математическим ожиданием), которое, в соответствии с принятой терминологией, обозначим, как ( = 1000). После транспортировке и хранения в заводской лаборатории, были проведены поверочные измерения показавшие при 20 °С следующие значения (см. таблицу 4.10)

Таблица 4.10

Номер образца	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
R, Ом	986	1005	991	994	983	1002	996	998	1002	983

Обозначим истинное среднее значения этой партии после транспортировки и хранения как .Вычисли среднее арифметическое значение

.

Возникает вопрос: истинное среднее значения после транспортировки (оценкой которого является ) действительно изменилось за счёт воздействия различных факторов (влажность, вибрации и т.д.) или оно попрежнему равно номинальному до транспортировки, а отклонение от объясняется нормальными случайными вариациями при измерениях. Таким образом, проверке подлежит нулевая гипотеза: = . Альтернативная гипотеза состоит в утверждении: ≠ .

Перепишем выражение (4.47) в виде

. (4.48)

Это выражение всегда выполняется, поскольку по условиям данного примера является оценкой для , следовательно, обе эти величины принадлежат одной генеральной совокупности. В этом случае математическая комбинация в фигурных скобках выражения (4.48) подчиняется закону Стьюдента. Если справедлива нулевая гипотеза, то неравенство в фигурных скобках должно выполняться и для

. (4.49)

Действительно, если = , то совокупность измерений в метрологической и заводской лабораториях одна и та же (и том и в другом случае измерения относятся к одной и той же генеральной совокупности). Следовательно, является оценкой не только для , но и для . Таким образом нулевая гипотеза: = принимается, если выполняется неравенство в выражении (4.49).

Вернёмся к рассматриваемому примеру. Рассчитаем дисперсию полученных значений

.

Выбрав доверительную вероятность γ =.0.95 и зная число степеней свободы ν = (10 – 1) = 9, найдём коэффициент Стьюдента по таблице 4.8 (t_γ = 2.26). Тогда

>

Так как неравенство (4.49) не выполняется, нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий не принимается. Принимается альтернативная гипотеза ( ≠ ).

Вывод: с вероятностью 95% можно утверждать, что транспортировка и хранение изменили термоэлектрические свойства датчиков.