4.3.3. Математическое ожидание и дисперсия генеральной совокупности непрерывной случайной величины.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл:

(4.16)

Если значения случайной величины принадлежат интервалу то

. (4.17)

Дисперсией непрерывной случайной величины Х, значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют математическое ожидание квадрата ее отклонения:

^{. .} (4.18)

Если значения случайной величины Х принадлежат всей числовой оси, тогда дисперсия равна:

_.

Среднеквадратическое отклонение равно

. (4.19)

Все свойства математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины сохраняются и для непрерывной случайной величины.

4.3.4. Числовые характеристики выборочной совокупности

Напомним, что генеральная совокупность состоит из всех возможных значений, которые может принимать случайная величина. Число таких значений может быть очень большим или даже бесконечным. Кроме того, не все значения могут оказаться доступными для измерений. Поэтому, из генеральной совокупности делают выборку, то есть из всего множества значений выбирают лишь некоторые ( ). Тогда получают выборочное среднее (аналог математического ожидания) и выборочную дисперсию.

Выборочное среднее получается из математического ожидания μ(Х) (см. формулу (4.13), если вероятность заменить частотой события.

. (4.20)

где М − число измерений в данной выборке с учётом повторяемости значений (объём выборки) . Знак усреднения обозначается чертой над усредняемой величиной.

Если суммировать не по числу значений, которые принимает случайная величина, а по числу измерений, то получим обычное среднеарифметическое измеряемой величины

. (4.21)

Если взять одну выборку, то ей соответствует одно значение выборочного среднего , другой выборке соответствует другое среднее и так далее. Так как выборки имеют случайный характер, то последовательность средних значений … (где K − число выборок ) также является случайной и к ней применимы операции нахождения математического ожидания и дисперсии.

Для численных (точечных) оценок случайной величины важно, чтобы они были несмещёнными. Если на основе выборочной совокупности произвести оценку какого – либо параметра генеральной совокупности и если математическое ожидание оценки равно оцениваемому параметру, то такую оценку называют несмещённой, то есть, если параметр генеральной совокупности равен , а его оценка на основе выборочной совокупности равна , то оценка несмещённая, если

. (4.22)

Для доказательства несмещённости точечных оценок будем рассматривать выборку объема М ( ) как систему М независимых случайных величин , каждая из которых имеет тот же закон распределения с теми же параметрами, что и случайная величина X, представляющая генеральную совокупность. При таком подходе становятся очевидными равенства

,

для всех = 1,2,...М.

Теперь можно показать, что выборочное среднее есть несмещенная оценка средней генеральной совокупности или , что то же самое, − несмещенная оценка математического ожидания интересующей нас случайной величины X. В данном случае оцениваемым параметром является само математическое ожидание.

, (4.23)

То есть выборочное среднее (среднее арифметическое) является несмещённой оценкой математического ожидания

.

Если полученная из выборки объема М точечная оценка параметра генеральной совокупности сходится по вероятности к , то такая оценка называется состоятельной. Это означает, что для любых положительных чисел  и найдется такое число , что для всех чисел , удовлетворяющих неравенству выполняется условие.

.

Можно показать, что при увеличении числа измерений, выборочное среднее неограниченно приближается к математическому ожиданию, и вероятность такого приближения стремится к 1. Это утверждение является выражением закона больших чисел в формулировке Чебышева

,

.

Пусть, например, известно, что математическое ожидание случайной величины Х равно μ(Х) = 10, а дисперсия D(X) = 1. Проведено М = 1000 измерений этой случайной величины. Зададим некоторое малое число, например ε = 0.1. Определим вероятность того, что . Расчёт показывает, что эта вероятность более 90 %.Таким образом, выборочное среднее является состоятельной оценкой математического ожидания

Второй из наиболее важных характеристик выборочной совокупности является выборочная дисперсия

_, (4.24)

из которой понятен её статистический смысл: она характеризует средний разброс случайной величины относительно её среднего значения. Если вести суммирование не по числу измеренных значений, а по числу измерений, выборочную дисперсию можно записать в виде

_. (4.25)

Можно показать, что математическое ожидание выборочной дисперсии равно

,

то есть, она является смещённой оценкой и поэтому не нашла широкого применения. Умножив на , получим несмещённую выборочную дисперсию, которая называется исправленной выборочной дисперсией

. (4.26)

Именно она используется при практическом статистическом анализе.

Выше было отмечено, что среднее значение можно рассматривать, как случайную величину, а значит к нему применимо понятие дисперсия. Установим связь между дисперсией среднего значения и дисперсией генеральной совокупности

Таким образом, дисперсия выборочного среднего равна дисперсии генеральной совокупности, деленной на число измерений. Если использовать в качестве оценки исправленную выборочную дисперсию S², то выборочная дисперсия среднего арифметического равна

, . (4.27)

Соответственно, выборочное среднеквадратическое отклонение , которое является оценкой среднеквадратического отклонения генеральной совокупности , равно

(4.28)

Выражения (4.27) и (4.28) широко используются при построении доверительных интервалов и проверке статистических гипотез (см. п.4.8 ).

Пусть имеется ряд несмещенных точечных оценок одного и того же параметра генеральной совокупности. Та оценка, которая имеет наименьшую дисперсию называется эффективной. Выборочное среднее и исправленная выборочная дисперсия являются эффективными, и как указывалось выше, несмещёнными и состоятельными оценками генеральной совокупности, что обусловило их широкое применение на практике.