Типовой расчет по теории вероятностей для студентов 2 курса

экономического факультета

Задание 1

1. В урне 6 белых шаров, 10 синих и 4 черных шара. Вынули два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые?

2. В лотерее 1000 билетов, 500 из которых выигрышные. Куплено 2 билета. Найти вероятность того, что оба эти билеты выигрышные.

3. В полученной партии деталей оказалось 200 деталей первого сорта, 100 деталей – второго сорта и 50 деталей – третьего сорта. Наудачу вынимается одна из деталей. Чему равна вероятность, получить деталь второго или третьего сорта?

4. Вероятность вытащить бракованную деталь из первого ящика равна 0,2; а из второго – 0,3, из каждого ящика взяли по одной детали. Какова вероятность того, что обе детали не окажутся бракованными?

5. В урне находятся три белых шара, пять красных, два синих. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из урны, не белый?

6. Игральный кубик бросают дважды. Чему равна вероятность того, что на верхней грани оба раза выпадут числа кратные двум?

7. В урне 10 зелёных и 15 синих шаров. Наудачу извлекают два шара. Какова вероятность того, что первый вынутый шар зелёный, а второй синий?

8. На книжной полке расположено 5 книжек по математике и 3 – по физике. Наугад выбирают 2 книжки. Найти вероятность того, что выбранные книжки – по математике.

9. В первой урне 5 белых и 10 черных шаров, во второй – 3 белых и 7 черных шаров. Из второй урны вынули один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутые шары белые?

10. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность выбить 10 очков равна 0,3, а вероятность выбить 9 очков равна 0,5. Чему равна вероятность, выбить менее 9 очков?

11. В урне 16 белых шаров, 4 синих и 10 черных шара. Вынули два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые?

12. В лотерее 200 билетов, 50 из которых выигрышные. Куплено 2 билета. Найти вероятность того, что оба эти билеты выигрышные.

13. В полученной партии деталей оказалось 1200 деталей первого сорта, 1000 деталей – второго сорта и 50 деталей – третьего сорта. Наудачу вынимается одна из деталей. Чему равна вероятность, получить деталь второго или третьего сорта?

14. Вероятность вытащить бракованную деталь из первого ящика равна 0,1; а из второго – 0,2, из каждого ящика взяли по одной детали. Какова вероятность того, что обе детали не окажутся бракованными?

15. В урне находятся пять белых шара, три красных, двенадцать синих. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из урны, не белый?

16. Игральный кубик бросают дважды. Чему равна вероятность того, что на верхней грани оба раза выпадут числа кратные трем?

17. В урне 15 зелёных и 10 синих шаров. Наудачу извлекают два шара. Какова вероятность того, что первый вынутый шар зелёный, а второй синий?

18. На книжной полке расположено 15 книжек по математике и 3 – по физике. Наугад выбирают 2 книжки. Найти вероятность того, что выбранные книжки – по математике.

19. В первой урне 15 белых и 5 черных шаров, во второй – 7 белых и 13 черных шаров. Из второй урны вынули один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутые шары белые?

20. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность выбить 10 очков равна 0,2, а вероятность выбить 9 очков равна 0,3. Чему равна вероятность, выбить менее 9 очков?

21. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово «конец».

22. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

23. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

24. В барабане револьвера семь гнезд, из них в пяти заложены патроны, а два оставлены пустыми. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. После этого нажимается спусковой крючок: если ячейка пустая, выстрела не происходит. Найти вероятность того, что, повторив такой опыт два раза подряд, мы оба раза не выстрелим.

25. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «книга».

26. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6; 0,5 и 0,4.

27. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе0,95, третье0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает все три устройства.

28. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

29. Три исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 0,1. Для второго и третьего исследователя эта вероятность соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при одновременном измерении три исследователя допустят ошибки.

30. Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятность попадания в цель для первого и второго стрелков равны 0,8 и 0,3 соответственно. Чему равна вероятность того, что в цель не попадут оба стрелка?

Задание №2

1-10. Три орудия производят по одному выстрелу в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для каждого из них равны соответственно m, n, k. Найти вероятность того, что:

а) в цель попадет только одно орудие;

б) в цель попадут только два орудия;

в) в цель попадет хотя бы одно орудие.

№ 1. 2. 3. 4. 5.			№ 6. 7. 8. 9. 10.
	n=0,7; m=0,9; k=0,8			n=0,65; m=0,7; k=0,9
	n=0,6; m=0,9; k=0,9			n=0,8; m=0,6; k=0,85
	n=0,8; m=0,8; k=0,7			n=0,7; m=0,75; k=0,9
	n=0,75; m=0,6; k=0,8			n=0,85; m=0,6; k=0,7
	n=0,9; m=0,7; k=0,75			n=0,95; m=0,8; k=0,65

11-20. Три студента участвуют независимо друг друга в олимпиаде по математике. Вероятности победы для каждого из них равны соответственно m_1, m₂ m₃. Какова вероятность того, что:

а) победит только один студент;

б) победу разделят два студента;

в) победит хотя бы один студент.

№	m1 m2 m3		№	m1 m2 m3
11. 12. 13. 14. 15.	0,5 0,6 0,95 0,9 0,85 0,8 0,65 0,7 0,75 0,9 0,55 0,8 0,6 0,65 0,95		16. 17. 18. 19. 20.	0,85 0,7 0,75 0,95 0,7 0,6 0,9 0,65 0,8 0,75 0,8 0,65 0,55 0,9 0,7

21-30. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочнике, соответственно равны k_1, k_2, k₃. Найти вероятность того, что разыскиваемая формула содержится:

а) только в одном справочнике;

б) только в двух справочниках;

в) хотя бы в одном справочнике.

№	k1 k2 k3		№	k1 k2 k3
21. 22. 23. 24. 25.	0,75 0,50 0,85 0,65 0,75 0,90 0,70 0,60 0,80 0,55 0,90 0,85 0,40 0,90 0,80		26. 27. 28. 29. 30.	0,85 0,90 0,6 0,60 0,90 0,95 0,55 0,70 0,90 0,45 0,70 0,75 0,95 0,80 0,65

Задание № 3

1-8. У рыбака есть три излюбленных места рыбалки. Эти места он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что рыба клюнет в первом месте, близка к p_1, во втором месте – p_2, в третьем – p₃. 1) Какова вероятность того, что он поймал рыбу? 2) Известно, что рыбак забросил удочку один раз. Какова вероятность, что он поймал рыбу в первом из излюбленных мест?

1.	p1 = p2 = p3 =		5.	p1 = p2 = p3 =
2.	p1 = p2 = p3 =		6.	p1 = p2 = p3 =
3.	p1 = p2 = p3 =		7.	p1 = p2 = p3 =
4.	p1 = p2 = p3 =		8.	p1 = p2 = p3 =

9-16. Студент может купить билет в одной из трех касс автовокзала. Вероятность того, что он направится к первой кассе, примерно равна , ко второй - , к третьей - . Вероятность того, что билетов уже нет в кассах, примерно такие: в первой кассе p₁, во второй - p₂, в третьей - p₃. 1) Какова вероятность того, что студент купил билет? 2) Определить вероятность того, что он купил билет во второй кассе?

9.	p1 = p2 = p3 =		13.	p1 = p2 = p3 =
10.	p1 = p2 = p3 =		14.	p1 = p2 = p3 =
11.	p1 = p2 = p3 =		15.	p1 = p2 = p3 =
12.	p1 = p2 = p3 =		16.	p1 = p2 = p3 =

17-24. Семена для посева в хозяйство поступают из трех семеноводческих хозяйств. Причем первое и второе хозяйства присылают по 40% всех семян. Всхожесть семян из первого хозяйства p₁, второго - p₂, третьего - p₃. 1) Определить вероятность того, что наудачу взятое семя не взойдет. 2) Какова вероятность того, что семя получено от второго хозяйства?

17.	p1 = 90%; p2 = 85%; p3 = 95%	21.	p1 = 91%; p2 = 93%; p3 = 86%
18.	p1 = 80%; p2 = 93%; p3 = 82%	22.	p1 = 92%; p2 = 88%; p3 = 77%
19.	p1 = 78%; p2 = 94%; p3 = 85%	23.	p1 = 97%; p2 = 83%; p3 = 88%
20.	p1 = 87%; p2 = 89%; p3 = 79%	24.	p1 = 90%; p2 = 81%; p3 = 84%

25-30. Покупатель с равной вероятностью посещает каждый из трех магазинов. Вероятность того, что покупатель приобретет товар в первом магазине равна p₁, втором - p₂, в третьем - p₃. 1) Определить вероятность того, что покупатель приобретет товар в каком-либо магазине. 2) Найти вероятность того, что он купил его во втором магазине?

25.	p1 = 0,4; p2 = 0,6; p3 = 0,8 28.			p1 = 0,7; p2 = 0,4; p3 = 0,6
26.	p1 = 0,5; p2 = 0,3; p3 = 0,9		29.	p1 = 0,2; p2 = 0,8; p3 = 0,3
27.	p1 = 0,6; p2 = 0,5; p3 = 0,7		30.	p1 = 0,4; p2 = 0,7; p3 = 0,6