4.5 Объемное напряженное состояние

Объемным или трехосным называется напряженное состояние, при котором все три главных напряжения отличны от нуля (рис. 4.2,а). Для объемного напряженного состояния справедливо равенство:

.

4.6 Обобщенный закон Гука

Обобщенный закон Гука представляет собой связь между напряжениями и деформациями в случае объемного напряженного состояния. Он может быть получен на основании закона Гука для линейного напряженного состояния и принципа независимости действия сил. Представляя объемное напряженное состояние в виде суммы трех линейных напряженных состояний, и учитывая, что при линейном напряженном состоянии и , выражения для деформации в направлении действия главных напряжений будут иметь вид:

Эти выражения носят название обобщенного закона Гука, записанного для главных площадок. Деформации e₁, e₂ и e₃, в направлении главных напряжений называются главными деформациями.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется тензором напряжений?

2. Сформулируйте закон парности касательных напряжений.

3. Дайте определения главной площадки главного напряжения.

4. Как определяются напряжения при линейном, плоском и объемном напряженных состояниях?

5. Запишите обобщенный закон Гука.

Лекция 5 Основные гипотезы механики материалов и конструкций.

Сдвиг (срез)

Первая гипотеза прочности: гипотеза наибольших нормальных напряжений; вторая гипотеза прочности: гипотеза наибольших удлинений (гипотеза максимальных относительных линейных деформаций); третья гипотеза прочности: гипотеза наибольших касательных напряжений; четвертая гипотеза прочности: гипотеза потенциальной энергии формоизменения; определение внутренних сил, напряжений и деформаций при сдвиге; анализ напряженного состояния при сдвиге; расчет на прочность при сдвиге; примеры расчетов

При оценке прочности различных конструкций и машин часто приходится учитывать, что многие их элементы и детали работают в условиях сложного напряженного состояния.

При возрастании действующей нагрузки главные напряжения будут увеличиваться и при некотором определенном значении наступит опасное или, так называемое, предельное напряженное состояние материала в исследуемой точке.

Для пластичного материала за предельное принимается такое напряженное состояние, при котором начинают развиваться заметные остаточные (пластические) деформации.

Для хрупкого материала предельным считается напряженное состояние, которому соответствует начало разрушения.

При одноосном растяжении (сжатии) предельное значение единственного главного напряжения определяется непосредственно из опыта и принимается равным:

 для пластичных материалов – пределу текучести _т;

 для хрупких материалов – пределу прочности _в.

Коэффициенты запаса по отношению к указанным пределам равны:

 для пластичных ;

 для хрупких ,

где   известная расчетная величина напряжения.

При плоском и объемном напряженных состояниях развитие деформации и разрушение материала происходит уже при действии двух или трех главных напряжений, для которых число встречающихся на практике соотношений по величине и знаку не ограничено. Поэтому число опытов, которые необходимо было бы провести для выявления предельных значений напряжений, также велико и в связи с этим постановка таких опытов затруднительна и практически неосуществима.

Таким образом, возникает необходимость создания такой методики расчета, которая позволяла бы оценить степень опасности любого напряженного состояния для того или иного материала, основываясь на результатах опытов при простом растяжении и сжатии.

Решение этой задачи осуществляется с помощью теорий предельных напряженных состояний или гипотез прочности.

Эти гипотезы основываются на предпосылке: два каких-либо напряженных состояния считаются равнопрочными и равноопасными, если они при пропорциональном увеличении главных напряжений в одно и то же число раз одновременно становится предельными.

В этом случае коэффициент запаса прочности для обоих напряженных состояний одинаков.

В

а) б)

Рисунок 5.1

качестве одного из равноопасных напряженных состояний принимается одноосное растяжение (рис. 5.1, а), а в качестве другого- напряженное состояние, опасность которого для данного материала необходимо оценить. Изучаемое напряженное состояние задано тремя главными напряжениями ₁, ₂, ₃ (рис. 5.1, б) при соблюдении алгебраического неравенства ₁  ₂  ₃.