3.2 Моменты инерции сечений

Моментами инерции сечения называются геометрические характеристики, определяемые интегралами вида:

(3.6)

где J_x, J_y  осевые (экваториальные) моменты инерции относительно осей х и у соответственно;

_, (3.7)

где J_р  полярный момент инерции сечения относительно данной точки (полюса); r - расстояние от площадки dF до полюса (рис. 3.1):

_, (3.8)

где J_xy  центробежный момент инерции сечения.

Если полярный момент инерции вычисляется относительно начала системы координат (рис. 3.1), то и

следовательно

, (3.9)

т .е. сумма осевых моментов инерции сечения относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через данную точку равна полярному моменту инерции этого сечения относительно этой точки.

Размерность моментов инерции L⁴. Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным, равным нулю.

Центробежный момент инерции сечения относительно осей, хотя бы одна из которых является осью симметрии, равен нулю. Действительно, для симметричной фигуры всегда можно выделить два элемента ее площади (рис. 3.4), которые имеют одинаковые ординаты у₁= у₂= у и равные по величине, но противоположные по знаку абсциссы х₁= х и х₂=  х. Тогда

3.3 Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей

Пусть х_с, у_с  центральные оси сечений,  моменты инерции сечения относительно этих осей. Определим моменты инерции сечения относительно новых осей х₁, у₁, параллельных центральным осям и смещенных относительно них на расстояния а и d. Пусть dF  элементарная площадка в окрестности точки М с координатами х и у в центральной системе координат. Из рис. 3.5 видно, что координаты точки в новой системе координат будут р авны:

Определим момент инерции сечения относительно оси х₁:

Очевидно, что первый интеграл дает , второй  , т.к. исходная система координат  центральная, а третий  площадь сечения F. Таким образом,

. (3.10)

Аналогично,

, (3.11)

. (3.12)

3.4 Моменты инерции простых сечений

3.4.1 Прямоугольник

О пределим момент инерции сечения относительно оси х₀, проходящей через центр тяжести прямоугольника высотой h и шириной b параллельно основанию (рис. 3.6). Выделим из прямоугольника линиями, параллельными оси х элементарную полоску высотой dу и шириной b. Площадь этой полоски dF = bdy, расстояние от полоски до оси х равно у. Подставим эти величины в выражение момента инерции относительно оси х (3.6):