Лекция 3 Геометрические характеристики плоских сечений
Статические моменты; моменты инерции; зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей; моменты инерции простых сечений: прямоугольник, треугольник, круг, кольцо; изменение моментов инерции при повороте осей координат; главные оси и главные моменты инерции; понятие о радиусе инерции; моменты сопротивления площади; моменты инерции сечений сложной формы; стандартные прокатные профили
Как было показано выше, при растяжении
и сжатии площадь поперечного сечения
полностью характеризует прочность и
жесткость стержня. Возьмем некоторое
поперечное сечение бруса (рис. 3.1). Если
представить себе сечение состоящим из
бесчисленного множества площадок dF,
то площадь всего сечения
.
Площадь является простейшей геометрической
характеристикой сечения, имеет
размерность L2.
Отметим два важных свойства: площадь
всегда положительна и не зависит от
выбора системы координат.
При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление и устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты, моменты инерции сечений, которые зависят не только от формы и размеров сечений, но также от положения осей и точек (полюсов), относительно которых они вычисляются.
3.1 Статические моменты сечений
Статическим моментом Sx сечения относительно оси х называется геометрическая характеристика, определяемая интегралом вида:
, (3.1)
где у расстояние от элементарной площадки dF до оси х.
Если отождествить площадь с силой, действующей перпендикулярно плоскости чертежа, то интеграл (3.1) можно рассматривать как сумму моментов сил относительно оси х. По известной из теоретической механики теореме Вариньона о моменте равнодействующей можно написать:
, (3.2)
где F площадь сечения представляет собой равнодействующую; ус координата плечо равнодействующей; С центр тяжести сечения.
Аналогично, статический момент относительно оси у равен:
, (3.3)
откуда следуют формулы для определения координат центра тяжести:
,
. (3.4)
Статические моменты могут быть
положительными, отрицательными и
равными нулю. В частности, относительно
любых центральных осей (проходящих
через центр тяжести С обозначаются
хс, ус)
статические моменты
.
Размерность статических моментов L3.
Для сложного сечения, состоящего из n
частей, выражения (3.2), (3.3) можно представить
в виде:
(3.5)
где
статические моменты
i-й части сечения
относительно осей х и у
соответственно.
Таким образом, статический момент сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей сечения относительно той же оси.
Для определения статических моментов сложной фигуры ее разбивают на простые части, для каждой из которых известна площадь Fi и положение центра тяжести xi и yi (рис. 3.2).
Рисунок 3.2
Статический момент площади всей фигуры относительно данной оси определяется как сумма статических моментов каждой части:
;
.
Отсюда координаты центра тяжести сложной фигуры:
;
.
Пример 1: Определить координаты центра тяжести фигуры (рис. 3.3).
Рисунок 3.3
Разбиваем фигуру на два прямоугольника:
ед.;
ед.