Паралельність.

1. Даны плоскость α и прямая а, которая ей не принадлежит. Сколько существует разных плоскостей, которые проходят через α и параллельны плоскости а?

2. Определите, какой грани тетраэдра SADC параллельно сечение ΜΝΡ, где точки Μ,Ν,Ρ – середины соответственно ребер AS, BS, и CS .

3. Диагональ и сторона трапеции параллельны плоскости α. Как расположены плоскость α и плоскость, в которой лежит трапеция.

4. Плоскость α параллельна прямой b, a прямая b параллельна плоскости γ, отличной от α. Каково взаимное расположение плоскостей α и γ ?

5. Даны параллельные плоскости α и β. Через точки А и В плоскости α проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость β в точках А₁ и В₁.Определите вид четырехугольника ΑΒΒ₁Α_1.

6. Даны параллельные плоскости α и β. Через точки А и В плоскости α проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость β в точках А ₁ и В ₁ соответственно. Найдите периметр Α₁ΑΒΒ₁, если А₁А:АВ=1:3, АВ=9см.

Перпендикулярність.

7. Точка А знаходиться на відстані 9 см від площини α. Похилі АВ і АС утворюють з площиною α кути 450 і 600, а кут між проекціями похилих дорівнює 1500. Знайти відтань між точками В і С.

8. Дано трикутник зі сторонами 20 см, 65 см і 75 см. Точка М знаходиться на однаковій відстані від сторін трикутника. З точки М проведено перпендикуляр до площини трикутника довжиною 4 см. Знайти відстань від точки М до сторін трикутника.

9. З точки до площини проведено дві похилі, одна з яких на 6 см довша від іншої. Проекції похилих дорівнюють 17 см і 7 см. Знайдіть довжини похилих.

10. (303) 3 точки А до площини α проведено похилі АВ і АС, які утворюють з площиною кути по 60°. Знайдіть відстань між точками В і С, якщо ВАС=90°, а відстань від точки А до площини α дорівнює 3 см.

11. (309) Трикутник АВС - рівнобедрений прямокутний з прямим кутом С і гіпотенузою 4 см. Відрізок СМ перпендикулярний до площини трикутника і дорівнює 2 см. Знайдіть відстань від точки Μ до пря­мої АВ.

12. (311)Через вершину прямого кута С трикутника АВС до площини три­кутника проведено перпендикуляр КС, довжина якого дорівнює см. Знайдіть відстань від точки Κ до прямої АВ, якщо АС=ВС=8см.

Декартові координати і вектори в просторі.

13. При якому значення т вектори (1;-2;4m) і (2;2m+1;-m) будуть перпендикулярні?

14. Знайти кут між стороною АС трикутника і медіаною ВМ трикутника АВС, якщо А (3;5;0), В(0;-6;0), С (3;1;0).

15. Задані точки A(2,1,-4), B(1,-2,3), C(1,-2,-3), D(5,-2,1). Знайти:

1. координати векторів AB, АС, AD; 2. довжини ребер AB, АС, AD;

3. координати т.І, λ=АІ:ІВ= 1:5 ; 4. кут між векторами AC, AD;

16. Дані точки М₁(1;-2;0), М₂(3;4;2 ), М₃( -1;1;2). Необхідно: скласти рівняння прямих М₁М₂; М₁М₃;

17. (601) Чотирикутник ABCD є паралелограмом, А(-3;4;5), В(-6;2;3), С(7;-2; 1). Знайдіть координати вершини D.

18. (602)Доведіть, що чотирикутник ABCD паралелограм, якщо А(3;-1;-2), В(-5;7;4), C(l;5;2), D(9;-3;-4).

19. (604) Доведіть, що трикутник з вершинами А(3;-2;4), В(9;-4;1) і С(-3;0;7) є рівнобедреним.

20. (606) Знайдіть довжину медіани трикутника ABC, проведеної до сторони ВС, якщо А(10;-11;9), В(2;-7;6), С(6;-3;-2).

21. (608) Знайдіть модуль вектора якщо 5;-5;2), (-2;3;-1).