Приклади застосування похідної до дослідження функцій

15. Температура протягом січня змінювалась за законом y=2x/(x²+1). Побудуйте графік, який показує зміну температури.

16. Розміщення берегів річки на деякому проміжку можна описати рівнянням у=х-1/x. Зобразіть графічно береги річки.

17. Координата рухомого тіла змінюється за законом у(t) =cost+ sint. Побудуйте графік зміни координати цього тіла.

18. Кількість теплоти, що виділяється під час хімічної реакції, змінюється за законом Q(t)=sin2t+ sint, де t - температура, за якої проходить реакція. Вкажіть на графіку температуру, за якої кількість виділеної теплоти зростала. Вкажіть максимальне зна­чення теплоти, яка виділялась протягом реакції.

19. Математичний маятник коливається за законом у=3sin(2x+π/2). Побудуйте графік цього коливання.

20. Сила струму змінюється за законом, який виражається формулою I(t)=2sint-sin2t. Зобразіть графічно залежність сили струму від часу.

21. На хімічному заводі з виробництва пластмас в основі процесу виробництва лежить хімічна реакція, швидкість v якої за­лежно від температури t змінюється за законом v(t)=(t²-9)/(t²-4). За допомогою графіка знайдіть швидкість реакції при температурі t=0. Визначте, за якої температури швидкість зростає.

22. Температура протягом січня змінювалась за законом y=3x/(x²+2). Побудуйте графік, який показує зміну температури.

23. Температура протягом січня змінювалась за законом y=4x/(x²+5). Побудуйте графік, який показує зміну температури.

Найбільше і найменше значення функції

24. Поперечним перерізом каналу є трапеція, кожна з бічних сторін і менша основа якої дорівнюють по 2 м. За якого значення х кута між бічною стороною і більшою основою площа поперечного перерізу каналу буде найбільшою?

25. Знайдіть найбільший можливий об'єм циліндра, площа повної поверхні якого дорівнює 54я (см²), якщо відомо, що радіус основи RΠ[2;4].

26. Над центром круглої грядки, радіус якої r, треба підвісити електричний ліхтарик так, щоб він освітлював доріжку навколо грядки з найбільшою силою. Якою має бути висота ліхтарика над землею?

27. По двох дорогах рухаються до перехрестя два авто­мобілі зі сталими швидкостями: 40 км/год і 50 км/год. Дороги пе­ретинаються під кутом 60°. У початковий момент руху відстані від автомобілів до перехрестя дорівнювали 5 км і 4 км відповідно. Через який час відстань між ними стане мінімальною?

28. Через фіксовану внутрішню точку М кута проведіть пряму, що відтинає від кута трикутник найменшої площі.

29. Друкований текст (разом з проміжками між рядками) однієї сторінки книги має займати S (см²). Ширина верхніх і нижніх полів сторінки має становити а (см), бічні поля - b (см). Які найвигідніші розміри сторінки, якщо враховувати лише еко­номію паперу?

30. Вартість (за годину) утримання баржі складається з двох частин: вартості палива, яка пропорційна кубу швидкості баржі, і вартості амортизації баржі (заробітна плата команди, об­ладнання тощо). Загальна вартість утримання баржі за годину, та­ким чином, виразиться формулою S=аv³+b, де v - швидкість судна у кілометрах за годину, а і b - коефіцієнти, задані для кожного судна. Визначте, при якому v загальна сума утримання на 1 км шляху буде найменшою, якщо а=0,005, b=40.