Задача** 56.

Ознака зростання (спадання) функції

1. В яких межах мають змінюватися сторони прямокутни­ка з даною площею S, щоб площа описаного навколо нього круга зменшувалась?

2. Через огорожу заввишки h перекидають каміння. Гори­зонтальна відстань до огорожі l. Знайдіть найменший кут, під яким можна кидати каміння, щоб воно перелітало через огорожу.

3. Маятник виконує коливання за законом х=0,6sin(ωt+3), де х - зміщення маятника, t- час, ω- циклічна частота коливання. За яких значень t зміщення збільшуватиметься, якщо частота ко­ливання v= 2 Гц?

4. В яких межах має змінюватися кут при вершині рівнобедреного трикутника, щоб радіус вписаного у нього кола зростав, якщо площа трикутника дорівнює 3?

5. У рівнобедрений трикутник з кутом при основі φ вписано рівнобічну трапецію. Менша основа трапеції лежить на ос­нові трикутника, а кінці більшої - на однакових його сторонах. Довжина більшої основи трапеції дорівнює 2а, а меншої основи і бічних сторін - а. В яких межах може змінюватись кут φ, щоб площа трикутника зменшувалася?

Критичні точки функції, максимуми і мінімуми

6. Матеріальна точка рухається за законом s(t) = asint + sin3t. За якого значення а функція s(t) матиме екстремум при π/3? Буде це максимум чи мінімум?

7. Гелій масою т у циліндрі під поршнем займає об'єм V₁ при тиску Р₁. Цей газ повільно переводять у стан з параметрами V₂ і Р_2, причому процес переходу характеризується законом Р=b-aV. Визначте проміжний об'єм V, за якого температура була б найбільшою в даному процесі.

8. Два точкових заряди 8×10^-6 Кл і 27×10^-7 Кл розміщено на відстані 0,2 м один від одного у вакуумі. В якій точці відрізка, що з'єднує заряди, напруженість поля найменша, якщо заряди різнойменно заряджені?

9. Санки з вантажем загальною масою т треба зрушити з місця. Коефіцієнт тертя спокою по снігу μ. Яку найменшу силу треба прикласти для цього?

10. Стіни і дно каналу треба зацементувати. За яких значень глибини і ширини каналу його периметр ABCD буде найменшим, якщо площа прямокутника ABCD дорівнює S?

11. Треба побудувати будинок площею S, якщо відомо, що 1 м фасадної (передньої) стіни коштує в т разів дорожче, ніж 1 м інших стін. Якими мають бути довжина і ширина цього будинку, щоб спорудження його стін було найдешевшим?

12. Із міномета ведуть обстріл схилу гори. Яка максималь­на дальність обстрілу вздовж схилу, якщо початкова швидкість v_0, а кут між горизонтом і схилом β? Опір повітря не враховувати.

13. У горизонтальній трубці завдовжки l міститься пози­тивно заряджена кулька. Поблизу протилежних кінців трубки розміщені позитивно заряджені заряди q₁ та q₂. Знайдіть положен­ня рівноваги кульки за умови мінімальності потенціальної енергії системи в цьому положенні.

14. Два однакових позитивних заряди q розміщено на відстані а один від одного. В якій точці на осі симетрії напру­женість результуючого поля, створеного цими зарядами, макси­мальна?