Похідна в фізиці і техніці

20. Знайдіть силу F, яка діє на тіло масою т, що рухається прямолінійно за законом х(t)=2t³ -t², при t=2.

21. Тіло масою 2 кг рухається прямолінійно за законом х(t)=t²+t+1. Знайдіть кінетичну енергію Е_к тіла через 2 с після початку руху (х - у сантиметрах, t - у секундах).

22. Сила струму І змінюється залежно від часу t за законом І= 0,4t² (І - в амперах, t - у секундах). Знайдіть швидкість зміни струму наприкінці восьмої секунди.

23. Закон зміни температури Т тіла змінюється з часом t за рівнянням Т=0,2t² (К). З якою швидкістю нагрівається тіло в мо­мент часу t=10 с?

24. Прямолінійний рух двох тіл задано рівняннями s₁(t)=4t³-7t²-3t+4, s₂(t)=4t³-6t²-9t-5, де s₁, s₂ - відстань у метрах, t - час у секундах. Визначте приско­рення цих тіл у той момент, коли швидкості їх однакові.

25. Рух двох тіл вздовж однієї прямої задано рівняннями s₁(t)=6t²+1, s₂(t)=5t²+7t-5. Знайдіть швидкість тіл у ті моменти, коли вони сходяться в одній точці.

26. З пункту А виїжджає мотоцикліст, який рухається рівноприскорено з прискоренням 3 м/с² і нульовою початковою швидкістю. В який момент часу мотоцикл наздожене автомобіль, який виїхав з пункту А на 1 хв раніше від мотоцикла і рухається в тому самому напрямі зі швидкістю 15 м/с? З якою швидкістю мо­тоцикл віддаляється від автомобіля в момент їх зустрічі?

27. Залежність пройденого автомобілем шляху від часу ви­ражається формулою: s(t)=е^t+е^π. З яким прискоренням рухається автомобіль у момент часу t=2^1/2 год?

28. Тіло масою т=5 кг рухається за законом s(t)=е^t+5. Яка сила діятиме на тіло через 2 с після початку руху?

29. Тіло рухається за законом s(t)=е^t+be^t, де s- шлях у метрах, t - час у секундах, a, b - сталі. Доведіть, що числове зна­чення прискорення дорівнює пройденому шляху.

30. Кинуте вертикально вгору тіло рухається за законом k(t)=2,25+12t-4t² (м). Знайдіть швидкість тіла в момент його приземлення (вважати

g = 10 м/с²).

31. Поворот колеса здійснюється за законом φ(t)=t+аt² (φ- у радіанах, t- у секундах). Кутова швидкість колеса через 16 с після початку обертання дорівнює 33 рад/с. За який час колесо зробить перший оберт?

Задача 54.

Ознака зростання (спадання) функції

1. Температура води в посудині змінюється за законом Р(t)=t²-4t, де t- час у годинах, tÎ[0;20]. Визначте, в який проміжок часу температура води зростала.

2. Автомобіль подолав відстань від пункту А до пункту В за одну годину. Його рух можна описати рівнянням s(t)=t²-t. Визначте, який проміжок часу автомобіль їхав вгору, а який - вниз.

3. Висота польоту тіла, кинутого вертикально вгору, ви­значається рівнянням Н(t)=v₀t-4,9t², де t- час у секундах, Н - висота в метрах, v₀= 100 м/с - початкова швидкість. З якого мо­менту часу t тіло починає падати?

4. Протягом доби температура змінювалася за законом T(t)=-t³/3+11,5t²-90t-85, де t - час у годинах, tÎ[0;24]. В який період доби температура зростала, а в який - спадала?

5. На фермі протягом року надої молока змінювались за законом

Р(т)=-т³/3+7,5т²-50т-120, де т - місяці року, тÎ [1; 12]. В який період року надої зростали, а в який - спадали?

6. Маховик під дією гальма за час / повертається на кут φ(t)=-t³/6+3t²/2+5t. За яких значень t кутова швидкість ω(t) обертання маховика спадає?

7. Траєкторія польоту м'яча описується функцією f(x)= x²/(x²+3). Вгору чи вниз летітиме м'яч на проміжку від 3 м до 6 м від початку руху?

8. Урожайність картоплі змінюється за рівнянням P(g)= g/(g²+g+25), де g (у кілограмах) - добрива, що вносяться на 1 га поля. Чи зростатиме врожайність картоплі, якщо gÎ[5;7]?

Критичні точки функції, максимуми і мінімуми

9. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом v(t)=5+4t-2t². В який момент часу швидкість буде найбільшою?

10. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом v(t)=4t²-3t+3. В який момент часу швидкість буде найменшою?

11. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t)=0,5t⁴-3t³+15t²-4. В які моменти часу прискорення руху тіла дорівнюватиме нулю?

12. Точка рухається за законом s(t)=-t²+8t. Знайдіть той момент часу, коли швидкість дорівнюватиме нулю.

13. Вал за t секунд обертається на кут φ(t)=12+40t-2t² (рад). В який момент обертання припиниться?

14. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t)=10+5t+48t²-0,6t⁵. В який момент тіло має найбільшу швидкість? Яка ця швидкість?

15. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t)=9+5t+46t²-0,5t⁵. В який момент тіло має найбільшу швидкість? Яка ця швидкість?

16. Продуктивність праці на підприємстві змінювалась за законом P(t)=24t-44-t², де t- час у годинах, tÎ [3;20] В який момент часу t відбулася різка зміна продуктивності?

Приклади застосування похідної до дослідження функцій

17. Траєкторію руху тенісного м'ячика можна описати формулою y=(x-4)²/8. Зобразіть траєкторію його руху.

18. Куля, випущена під кутом до горизонту, рухається по траєкторії, яку можна описати формулою у=4-х². Зобразіть траєкторію його руху.

19. Рух автомобіля можна описати законом: s(t)=2t-t²+8, де t- час руху. Зобразіть графічно шлях руху автомобіля.

20. Маса в тонкому неоднорідному стержні певної довжини розподіляється за законом G(l)= 4l²-10l-5, де l - довжина стержня. Зобразіть графічно цю залежність.

21. Протягом певного періоду взимку температура змінювалась за законом f(x)=x³/6-x². Зобразіть графічно зміну температури.

Найбільше і найменше значення функції

22. У магазині фермер купив матеріал для огорожі завдовжки 200 м. Як відгородити прямокутну ділянку найбільшої площі?

23. Протягом доби температура Т змінювалась за законом Т= t³/3+11,5t²-9t-140, де t- час у годинах, tÎ[6;19]. О котрій годині температура була найвищою?

24. Куля в момент вильоту з рушниці має початкову швидкість v₀ і вилітає під кутом х до горизонту. Визначте, за якого значення х дальність польоту буде найбільшою, і знайдіть значен­ня цієї дальності, коли відомо, що вона обчислюється за форму­лою l= v₀² sin2t/9.

25. Прямокутний загін, який однією стороною прилягає до річки, треба огородити дротяною сіткою завдовжки 200 м. Якими мають бути сторони прямокутника, щоб його площа була найбільшою?

26. Яку найбільшу площу матиме прямокутна ділянка землі, якщо її можна огородити огорожею завдовжки 2р?

27. Надійність балки, що має прямокутний поперечний пе­реріз, пропорційна його ширині і квадрату його висоти, тобто Р=kxy². Якими мають бути сторони прямокутного поперечного пе­рерізу балки, витесаної з колоди радіуса 30 см, щоб надійність її була найбільшою?

28. 3 колоди діаметра 30 см треба витесати балку з прямо­кутним поперечним перерізом. Якими мають бути розміри балки, щоб відходи під час її виготовлення були якнайменшими?

29. Посудина у вигляді прямокутного паралелепіпеда з квадратною основою має вміщувати 32 л води. Якими мають бути розміри посудини, щоб на її виготовлення було витрачено найменшу кількість матеріалу?

30. Кусок дроту завдовжки 1,8 м згинають так, щоб утворився прямокутник. Якими мають бути сторони прямокутника, щоб його площа була найбільшою?