Задача* 53.

Застосування неперервності

1. З якою швидкістю тіло почало рухатись, коли відомо, що перші 10 с швидкість збільшувалася на 2 м/с щосекунди; після 10 с тіло рухалося зі швидкістю ( 60-80) м/с, функція v(t) є неперервною?

2. Куля, випущена з гвинтівки, вилетіла з початковою швидкістю 80 м/с. За кожну наступну секунду швидкість зменшу­валася на 3 м/с. На шостій секунді куля пробила мішень і полетіла далі зі швидкістю v= . Складіть функцію залежності v(t) і дослідіть її на неперервність у точці t= 6.

3. Горобець вилетів з гнізда зі швидкістю 2 м/с. Далі він збільшував швидкість щосекунди на 1 м/с. На сьомій секунді він побачив кота, після чого полетів зі швидкістю v= м/с. Складіть функцію v(t) і дослідіть її на неперервність у точці t= 7.

4. Ядро вилетіло з гармати з початковою швидкістю 30 м/с. Потім швидкість зменшувалася щосекунди на 2 м/с. На дев'ятій секунді ядро зрізало дерево і полетіло далі зі швидкістю v= . Складіть функцію v(t) і дослідіть її на неперервність у точці t= 9.

5. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t)= 6t²–5t. Доведіть, що між третьою і четвертою секундами руху тіло пройде точку з відміткою 60 м. Знайдіть час, коли це станеться, з точністю до 0,1 с.

6. М'яч падає з десятиповерхового будинку. Доведіть, що між першою і другою секундами польоту м'яч пролетить повз п'ятий поверх. Визначте з точністю до 0,1 с час, коли це станеться (вважайте, що поверх має висоту 3 м; g = 10 м/с ).

7. Моторний човен рухається по річці прямолінійно за законом s(t)=t²+t. Доведіть, що між п'ятою і шостою годинами руху моторний човен пройде 70 км. Знайдіть час із точністю до 0,1 год, коли човен пройде 70 км.

8. Бригади робітників одержували одяг на складі, по 2 комплекти на кожного робітника. Кожна бригада одержала на 20 комплектів більше, ніж було бригад. Якби бригад було на 4 більше і кожній видавали по 12 комплектів, то одягу на всіх не вистачило б. Скільки комплектів одягу було на складі?

Дотична до графіка функції

9. У деякій системі відліку супутник рухається навколо планети, що розміщена в початку відліку, по параболі у=х²-3. Під яким кутом відносно осі ОX сяде на нього космічний корабель в точці x=- , якщо в цій точці він рухається по дотичній до траєкторії польоту супутника?

10. Тенісний м'ячик, кинутий на стіл, підскакує після відбиття, знову падає і т.д. Його висота (у сантиметрах) над поверхнею стола змінюється за законом x(t)=10(l+cos(2t))/(t+1). Складіть рівняння дотичної до графіка цієї функції в точці: t=1 (с), t=π (с) після початку руху.

11. Зерно рухається по транспортеру спочатку пря­молінійно, а потім падає з нього по траєкторії у=4х-х². Запишіть рівняння руху транспортера, тобто дотичної в точці (1;3), де зерно відривається від транспортера.

12. Десантники вистрибують з літака. Один з них летить по параболі у=х²-4. У точці х=3 його наздоганяє інший десантник, в якого не розкрився парашут, чіпляється за нього і далі вони ле­тять по дотичній до цієї параболи. На якій відстані до орієнтира, що міститься в точці (0; 0), вони приземляться?

13. Шланг для поливання квітів провисає з балкона третьо­го поверху і має вигляд графіка функції у=2^x. На висоті 2 м від землі він дотикається до даху гаража. Під яким кутом до землі розміщений дах?

14. Світлова камера фотоапарата обмежена двома дзеркаль­ними поверхнями, які в перерізі мають форму прямої і кубічної па­раболи. Промінь світла проходить між цими лініями паралельно до прямої і дотикається до параболи. Знайдіть координати точки доти­ку, якщо парабола і пряма задаються відповідно рівняннями у=х³ і y=2x-3.

15. Копицю сіна, контур якої задається рівнянням у=-х²+3x+4, закріплюють двома жердинами, щоб її не знесло вітром. Одна з жердин дотикається до копиці в точці х=0, інша - х=2. Знайдіть точку, в якій кінці жердин дотикаються.

16. Щоб піднятися на гірку, рівняння перерізу якої задається функцією у=8+х²/2, приставляють до неї драбину, яка дотикається до схилу в точці х=2. Знайдіть відстань від початку координат до точки, де драбина торкається землі. Якої довжини має бути драбина?

17. Дика качка летить по траєкторії, яка визначається параболою у=20+х²/4. Під яким найменшим кутом має пролетіти влучна куля, якщо мисливець розміщений у початку координат?

18. Ворожий літак рухається по траєкторії у=1+х²/8. Чи може влучити в нього пострілом танк Т-80, що розміщений в по­чатку координат, у якого максимальний кут підйому ствола 40° і дальність польоту снаряда 3,2 км?

19. Траєкторії руху ракет лежать на параболах у=4х-х² та у=-24+11x+х² (у- висота ракет над горизонтом). Знайдіть кут перетину траєкторій.