Задача 52.

Дотична до графіка функції

1. У деякій системі відліку планета розміщена в початку координат. Супутник рухається відносно цієї планети по параболі у=х²-1. Знайдіть тангенс кута нахилу дотичної до траєкторії ру­ху супутника в точці (1 ;0).

2. Австралійський абориген кинув бумеранг у ціль, яка міститься в початку координат деякої системи відліку. Бумеранг у ціль не потрапив, а облетів її по параболі у=4-х⁴. Знайдіть тан­генс кута нахилу дотичної в точці х=2.

3. Мисливець, що перебуває в початку координат деякої системи відліку, підстрелив дику качку, яка починає падати по траєкторії, заданій параболою у=х²-4. Запишіть рівняння дотичної до цієї параболи в точці, де качка впаде на землю.

4. Каскадер, стрибнувши з даху будинку, рухається по траєкторії, заданій параболою у=4-х². Запишіть рівняння дотич­ної в точці його дотику до землі (вісь OY проходить через дах бу­динку).

5. Спортсмен, який перебуває в початку координат деякої системи відліку, штовхає ядро, що летить по параболі у= (2-^x/₄)х. Запишіть рівняння дотичної в точці падіння ядра.

6. У деякій системі відліку літак, рухаючись по траєкторії, що задана параболою у= +1, в точці х = 2 випускає ракету. Під яким кутом до горизонту вона летітиме?

7. Парашутист летить по частині параболи у=х²-4 відносно орієнтира, який розміщений у початку координат. Під яким кутом він приземлиться?

8. Схил берега можна описати формулою у=-e^x+1, рівень води в річці: у=0. Визначте кут нахилу берега до рівня во­ди в річці.

9. Лісова дорога має вигляд графіка функції у = 2^5x-3. Стежка, яка має вигляд прямої, перетинає шосе і дотикається до дороги на відстані 4 км від шосе. Під яким кутом проходить стеж­ка?

10. На деякій відстані від шосе розміщений санаторій, до­рога від якого має траєкторію, що описується рівнянням у=4^2x. Прямолінійне шосе дотикається до цієї дороги в точці з абсцисою х=1. Складіть рівняння, яким визначається шосе.

Похідна в фізиці і техніці

11. Матеріальна точка рухається за законом x(t)=4t²+2t+5, де х- у метрах, t-y секундах. Визначте швидкість руху і прискорення в будь-який момент часу.

12. Колінчастий вал за t секунд обертається на кут φ(t)=12+40t-2t² (рад). Визначте кутову швидкість у будь-який момент.

13. Швидкість тіла, яке рухається прямолінійно, визна­чається за законом v(t)=4t+2t² (м/с). Яке прискорення має тіло через 5 с після початку руху?

14. Мотоцикліст рухається прямолінійно за законом s(t)=7t²+4t-2, де s - відстань у метрах, t- час у секундах. Визначте швидкість і прискорення в будь-який момент часу.

15. Маса тонкого стержня АВ, довжина якого 30 см, у будь-якій точці С, що лежить на відстані х від точки А, визначається за формулою т(х)=5х²-3х. Знайдіть лінійну густину стержня в точці х=12 см і в точці В, якщо маса вимірюється в грамах.

16. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t)=-3t³+12t²-5+5t⁴/32, де s - шлях у метрах, t - час у секундах. У які моменти часу прискорення руху тіла дорівнює нулю?

17. Точка рухається за законом s(t)=4t-t². Який шлях пройде точка за час від t₁=1 с до t₂=1,5 с? Яка середня швидкість точки на цьому відрізку часу? Які швидкість і прискорення в мо­мент часу t= 1,25 с?

18. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом x(t)=2t²-14t+45, де х - відстань у метрах, t- час у секундах. Яка швидкість цієї точки в момент, коли координата її дорівнює 25 м?

19. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t)=-t³/6+5t²/2+7. Визначте, з якою швидкістю рухається тіло годі, коли його прискорення дорівнює нулю.

20. Закон руху точки визначається формулою х(t)=3cos2 t. При яких t прискорення точки додатне?

21. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом

х=4t³/3-15t²/2+7t-1, де х- відстань у метрах, t- час у секун­дах. Яке прискорення має ця точка в момент, коли її швидкість дорівнює нулю?

22. Тіло рухається прямолінійно за законом х(t)= . Визначте залежність між швидкістю і прискоренням.

23. Тіло рухається за законом s=t³+t-3lnt. Знайдіть швидкість цього тіла в момент часу t= 4 с.

24. Тіло рухається за законом s=3ln(4t+1)+t². Знайдіть момент часу, коли швидкість цього тіла дорівнює 4,4 м/с.

Застосування неперервності

25. 3 пункту А до пункту В, відстань між якими 20 км, вирушив пішохід. Пройшовши 4 км, він сів на автобус і проїхав 6 км. Далі до пункту В йшов пішки. Побудуйте графік функції, що описує шлях пішохода, який він пройшов пішки. Чи є ця функція неперервною?

26. Залежність координати точки, яка рухається по прямій, від часу виражається функцією x(t)=x₀+v₀t+at²/2, де a, x₀, v₀- сталі. Доведіть, що функція x(t) неперервна: в точці 2; в точці 3.

27. 3 якою точністю обчислюється периметр квадрата, як­що кожну з його сторін виміряно з точністю до 0,001 см?

28. 3 якою точністю треба виміряти сторону правильного восьмикутника, щоб його периметр був обчислений з точністю до 0,003 см?

29. Під час огляду батальйону особовий склад був вишикуваний в каре (стрій, в якому кількість чоловік в шерензі дорівнює кількості чоловік в колоні). Після того, як кількість солдат в шерензі та в колоні була зменшена відповідно на 5 і 10 чоловік, в строю залишилося не менше 14 солдат. Які мінімальні розміри ка­ре, якщо батальйон не може складатися менше ніж із 100 чоловік?

30. 3 дошки треба вирізати трапецію таким чином, щоб менша її основа була менша від висоти на 6 см, а більша основа - на 4 см, при цьому її площа має бути не менш як 12 см². Якою має бути висота трапеції?

31. Треба виготовити резервуар у вигляді прямокутного паралелепіпеда таким чином, щоб висота його була менша за ширину на 40 дм, а довжина - більша на 9 дм, при цьому його об'єм має бу­ти більшим за 180 дм³. Якою має бути ширина резервуара?