Задача 50.

Правила диференціювання.

1. Кількість теплоти Q, необхідної для нагрівання 1 г води від 0° до Т°С, визначається за формулою Q=T+2×10^-5T²+3×10^-7T³. Знайдіть питому теплоємність при Т=10°С.

2. Кут повороту тіла навколо осі змінюється залежно від часу t за законом φ(t)=0,1t²–0,5t+0,2. Знайдіть кутову швидкість обертання тіла в момент часу t=2 с.

3. 3міна сили струму I залежно від часу t задана рівнянням I(t)=2t² –5,1t (I- в амперах, t - у секундах). Знайдіть швидкість зміни сили струму в момент t= 10 с.

4. Закон руху точки по координатній прямій виражається рівнянням х(t)=4+12t–0,25 t². Знайдіть швидкість руху точки в момент часу t = 8. В який момент часу t швидкість тіла дорівнює нулю?

5. Автомобіль рухається за законом x(t)=9t²+1. Знайдіть швидкість руху автомобіля.

6. По прямій лінії рухаються два автомобілі, причому за­кон руху першого задано функцією f(t)=2t³/3, а закон руху дру­гого - функцією g(t)=8t- 3. Визначте, в які моменти часу швидкість першого автомобіля менша від швидкості другого.

7. Тіло масою 3 кг рухається прямолінійно за законом s(t)=t²+ -1 (s - у метрах, t - у секундах). Обчисліть кінетичну енергію тіла через 5 с після початку руху.

8. Матеріальна точка рухається за законом у=(t⁴-t²+t³-2)⁴. Визначте миттєву швидкість точки в будь-який момент часу.

9. Залежність координати точки, що рухається по прямій, задано формулою x(t)=(2t +1)², де t- змінна. Знайдіть швидкість та прискорення руху точки.

10. Знайдіть кут між двома крайніми положеннями маятника годинника, якщо його швидкість у момент відхилення від найнижчої точки на кут α дорівнює v(α)=v₀ , де v₀ - швидкість маятника у цій точці.

11. Закон руху точки по координатній площині виражається рівнянням x(t)= . Знайдіть швидкість руху точки в момент часу t= 4. В який момент часу t швидкість точки дорівнює нулю?

12. Кут обертання тіла навколо осі змінюється за законом φ(t)= . Знайдіть кутову швидкість обертання тіла в момент часу t=20 с.

13. Точка рухається прямолінійно за законом s(t)= . Покажіть, що її прискорення обернено пропорційне квадрату пройденого шляху.

14. Залежність шляху від часу описується законом s(t)= . Знайдіть середню швидкість руху тіла для проміжку часу [1;3].

15. Поперечний переріз трампліна задано формулою y=cos(x+1/2)+1,2; хΠ[0;π]. Знайдіть кут, під яким спортсмен підштовхується від трампліна.

16. Кут повороту шківа силової установки залежно від часу визначають за рівнянням φ(t)= . Знайдіть кутову швидкість у довільний момент часу t і при t= 4 с.

17. Кількість електрики, яка проходить через поперечний переріз провідника за t секунд, визначається формулою Q(t)= . Визначте силу струму в провіднику через t секунд від моменту ввімкнення мережі і наприкінці другої секунди.

18. Поршень у циліндрі рухається зі швидкістю v(t)=cost+¹⁶/₃. Знайдіть прискорення a(t) наприкінці: ^3π/₂ секунди; 7π секунди.

19. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v(t)=2cost+¹⁵/₈. Знайдіть прискорення a(t) наприкінці ^π/₄ секунди.

20. Дуга лука має вигляд шапки косинусоїди. Прийнявши тятиву лука за вісь ОХ, а стрілу - за вісь ОУ, знайдіть на дузі лука точку, якщо відомо, що кутовий коефіцієнт дотичної до дуги в цій точці дорівнює ¹/₂.

21. Крижана гірка має форму шапки синусоїди. Під яким кутом до поверхні землі прикладено рівну палицю, якщо вона дотикається до гірки лише в точці стику гірки з поверхнею землі?

22. Точка рухається прямолінійно за законом s(t)=³/₂sin^πt/₂+1,5. Знайдіть прискорення руху точки наприкінці 3-ої, 5-ої і 7-ої секунд.

23. .Якщо перетяти стіг сіна площиною, то одержимо контур, що нагадує графік функції у=sin3x. Сіно накривають плоским шифером, який закріплюють на жердинах. Довжини жердин дібрано так, що, дотикаючись до сіна у точках з абсцисами x=^π/₁₈ i x=^5π/₁₈ вони зверху стикаються. Знайдіть координати точки стикання жердин.

24. Перелетівши з ромашки на волошку, бджола описала траєкторію, яку можна задати рівнянням s(t)=2sin^t/₃. За якого значення t швидкість бджоли дорівнювала /3?

25. Заряд q у провіднику змінюється з часом за законом q=⁵/₂cos² +2t³. Знайдіть силу струму провідника в момент часу t=3 с, якщо I(t)=q'(t).

26. Мідна кулька, підвішена до пружини, здійснює гармонічні вертикальні коливання з періодом Т=8 с, амплітудою А=1,6 м, початковою фазою φ=0. Знайдіть зміщення, швидкість та прискорення кульки в момент часу t=1 с, якщо відомо, що x(t)=Asin , де x(t)- зміщення кульки.

27. Швидкість руху поршня в циліндрі описується функцією v(t)=v_maxsin(5t+6), де v_max- максимальна миттєва швидкість розгону в процесі робочого ходу. Знайдіть функцію, що задає прискорення.

28. Поперечний переріз насипу твердої породи нагадує одну з хвиль графіка функції s(t)= sin3x. Визначте кут нахилу насипу до поверхні землі.

29. Хлопчик спускається з гірки на санчатах по траєкторії

s(t)=-3t+ln10+2t/ln2 (м). Якою буде швидкість саней через 4 с?

30. Розмноження мікроорганізмів відбувається за законом А_t=A₀e^kt, де А_t - концентрація мікроорганізмів у момент часу t, A₀- початкова концентрація мікроорганізмів, k - стала розмно­ження мікроорганізмів. Знайдіть час, коли концентрація мікроорганізмів становитиме А.

31. Автомобіль рухається по траєкторії s=е^2t t²/12? (км). Яка буде швидкість автомобіля через 2 год руху?

32. Дзиґа обертається навколо своєї осі за законом s=е^t+1 tcos6+ 4. Через який час дзиґа набере кутового прискорення ε=е^5/3 рад/с²?

33. М'яч масою т = 1 кг у кегельбані рухається за законом

s(t)=6 ^t+2t+5. Через який час діюча сила дорівнюватиме F=36(ln6)²H?