ЗадачаΔ 60.

Найбільше і найменше значення функції

1. Якими мають бути розміри ящика з кришкою місткістю V=1764 см³, якщо сторони основи відносяться, як 3:4, щоб на його виготовлення пішло найменше матеріалу?

2. Об'єм правильної шестикутної призми дорівнює V. Якою має бути сторона основи, щоб повна поверхня призми була найменшою?

3. Довжина відкритого басейну об'ємом 288 м² вдвічі більша за ширину. Якими мають бути розміри басейну, щоб на його облицювання пішло найменше матеріалу?

4. Знайти співвідношення між радіусом r і висотою h циліндра, який має при даному об'ємі V найбільшу повну поверхню.

5. Треба зробити конічну лійку з твірною, що дорівнює 20 см. Якою має бути висота лійки, щоб її об'єм був найбільшим?

6. Знайти сторони прямокутника найбільшого периметра, вписаного в півколо радіуса r.

7. З круга вирізано сектор з центральним кутом α. З цього сектора згорнута конічна поверхня. При якому значенні α об'єм конуса буде найбільшим?

8. Знайти висоту циліндра найбільшого об'єму, який можна вписати в кулю радіуса R.

9. Знайти висоту конуса найбільшого об'єму, який можна вписати в кулю радіуса R.

10. Знайти висоту прямого кругового конуса найменшого об'єму, описаного навколо кулі радіуса R.

11. Якою має бути висота конуса, вписаного в кулю радіуса R, щоб його бічна поверхня була найбільшою?

12. Знайти кут при вершині осьового перетину конуса з найменшою бічною поверхнею, описаною навколо даної кулі.

13. На параболі у²=4х знайти точку, найближчу до точки А (6; 0).

14. У лівому фокусі еліпса x²/6+y²/5=1 лежить вершина рівнобедреного трикутника. В якій точці осі Ох треба провести основу цього трикутника паралельно осі Оу, щоб його площа була найбільшою?

15. На параболі у=х²-4 знайти найближчу до початку координат точку.

16. На гіперболі ху=4 знайти точку, сума квадратів координат якої була б найменшою.

17. Одна сторона і дві вершини прямокутника лежать на осі Ох, а дві інші - на параболі у=12-х². Знайти розміри прямокутника найбільшої площі.

18. Через точку (2; 8) провести пряму, яка б відтинала на додатних півосях координат відрізки, сума яких була б найбільшою.

19. 7%. Знайти висоту h у рівнобічній трапеції площею 16 см² і кутом 60° між бічною стороною і більшою основою, при якій сума бічних сторін і меншої основи була б найменшою.

20. На гіперболі x²-у²=4 знайти точки, найближчі до точки А (0; 2).

21. На гіперболі x²/5-y²/4=1 знайти точки, віддаль від яких до прямої у=2х була б найменшою.

22. Стовбур завдовжки 10 м має форму зрізаного конуса з діаметром основ 1,5 і 0,5 м. Треба вирубати з цього стовбура балку з прямокутним поперечним перерізом, сторони якого відносяться, як 2:1, а вісь збігається з віссю стовбура. Які мають бути розміри балки, щоб її об'єм був найбільшим?

23. Смугу бляхи завширшки а треба зігнути у вигляді циліндричного жолоба, перетин якого матиме форму дуги кутового сегмента. Яким має бути центральний кут φ, щоб місткість жолоба була найбільшою?

24. Ціна алмаза, за інших однакових умов, пропорційна квадрату його маси. Ціна алмаза в 1 карат становить а (крб.). Показати, що найменша вартість двох алмазів загальною масою в 4 карати становить за тих самих умов 8а (крб.).

25. Три пункти А, В і С розміщені так, що ÐАВС =60°. Одночасно виїжджають з пункту А автомобіль і з пункту В - поїзд. Автомобіль рухається до пункту В зі швидкістю 80 км/год, поїзд - до пункту С зі швидкістю 50 км/год. В який момент часу (від початку руху) відстань між поїздом і автомобілем буде найменшою, якщо АВ = 200 км?

26. Треба знайти висоту, на якій слід підвісити лампу над круглим столом радіуса 80 см, щоб освітленість краю стола була найбільшою. Яскравість освітлення визначається формулою I=k cos φ/r², де φ - кут нахилу променів; r - відстань від джерела освітлення до площадки; k - сила джерела світла.

27. Пішоходові треба дістатися з пункту А, розміщеного на шосе, до пункту В, розміщеного за 12 км від шосе. Відстань АВ=20 км. На якому кілометрі шосе пішохід має звернути із шосе на цілину, щоб дійти найшвидше до пункту В, якщо його швидкість по шосе 6 км/год, а по цілині - 3 км/год.

28. На прямолінійному відрізку АВ=а, що сполучає два джерела світла А (сили р) і В (сили q), знайти найменш освітлене місце (освітленість обернено пропорційна квадрату віддалі від джерела світла).

29. Завод D потрібно сполучити шосейною дорогою з прямолінійним відрізком залізниці, на якій розташоване місто А. Віддаль від заводу до найближчої точки В на залізниці дорівнює DB = 40 км. Відстань від міста до цієї точки В на залізниці дорівнює АВ = 200 км. Вартість перевезення по шосе в разів вища, ніж залізницею. В яку точку С залізниці треба провести шосейну дорогу, щоб вартість перевезення була найменшою?

30. Канал, ширина якого 27 м, під прямим кутом впадає в другий канал завширшки 64 м. Якої найбільшої довжини стовбур можна сплавити цією системою каналів?

31. Картина висотою 1,4 м повішена на стіну так, що її нижній край на 1,8 м вище ока глядача. На якій відстані від стіни має стояти глядач, щоб кут зору був найбільшим?

32. На сторінці книжки друкований текст повинен займати s см². Верхнє і нижнє поля мають бути по а см, праве і ліве - по b см. При яких розмірах сторінки на неї піде найменше паперу?

33. Із трьох дощок однакової ширини збивають жолоб. При якому куті нахилу бічних стінок площа поперечного перерізу жолоба буде найбільшою?

34. Газова суміш складається з оксиду азоту і кисню. Знайти концентрацію кисню, при якій оксид азоту, що міститься в суміші, окислиться з максимальною швидкістю. Швидкість реакції виражається формулою v=k(100х²-х³), де х - концентрація окису азоту (в об'ємних процентах).

35. Струмопровідний кабель складається з мідного дроту та ізоляції. Якщо через х позначити відношення радіуса мідного дроту до товщини ізоляції, то швидкість телеграфування v=Ax ln . При якому х швидкість буде найбільшою?

36. Витрати електропровідника на кілометр записуються рівнянням W=Аr+B/r, де r- опір в омах; А i В - сталі. При якому опорі провідник буде найбільш економічним?

37. Визначити, яким має бути опір r електронагрівного приладу, ввімкненого в коло струму опору R, для того, щоб у ньому виділялась максимальна кількість теплоти, якщо Q =rE²/(R+r)².