ЗадачаΔ 57.

Механічне застосування похідної

1. Точка рухається прямолінійно за законом S=t⁴-t³+2t+2, де t виражається в секундах, a S - у сантиметрах. Знайти швидкість руху в кінці першої і третьої секунд.

2. Кут α, на який повертається колесо за t (с), дорівнює α=2t²-8t+3. Знайти кутову швидкість ω руху колеса. В який момент кутова швидкість дорівнює нулю?

3. Тіло масою 6 кг рухається прямолінійно за законом s=t³/3-t²+2t, де t виражається в секундах, a s- у сантиметрах. Обчислити кінетич­ну енергію(mv²/2) через 3 с.

4. Колесо обертається так, що його кут повороту пропорційний кубічному степеню часу. Перший оберт було виконано колесом за 4 с. Знайти кутову швидкість ω через 36 с.

5. Тіло масою m=2 кг рухається прямолінійно по шляху s=2t²+3t+1. Знайти імпульс сили (t=mv-mv₀) через 6 с після початку руху.

6. Кількість теплоти ω, потрібної для нагрівання 1 г води від 0 до t, визначається за формулою ω=t + 0,00002 t²+ 0,0000003 t³. Обчислити питому теплоємність води для: 1) t = 30 °С; 2) t = 100 °С.

7. Закон зміни маси радію залежно від часу має вигляд т=т₀е^-kt, де т₀ - початкова маса; k-сталий коефіцієнт (k= 0,000436). Визначити швидкість розпаду радію в момент часу t = t₀.

8. Кількість електрики, що протікає через провідник з моменту часу t=0, задається законом Q=3t²+2t+3 (кулонів). Знайти силу струму в кінці десятої секунди.

9. Точка рухається по гіперболі у=10/x так, що ЇЇ абсциса х зростає рівномірно зі швидкістю 1 одиниця за секунду. З якою швид­кістю змінюється її ордината, коли проходить точку (5; 2)?

10. Одна сторона прямокутника має сталу величину а=10 см, а друга b зростає зі сталою швидкістю 4 см/с. З якою швидкістю зростають діагональ прямокутника та його площа в той момент, коли b =30 см?

11. Радіус кулі зростає рівномірно зі швидкістю 5 см/с. З якою швидкістю зростають площа поверхні і об'єм кулі в момент, коли радіус її становить 50 см?

12. Барометричний тиск р змінюється з висотою h згідно з функцією р=p₀е^ch, де p₀ - нормальний тиск, а с - стала. На висоті 5540 м тиск досягає половини нормального. Знайти швидкість зміни барометричного тиску з висотою.

13. З якою швидкістю зростає величина у при х=3, якщо у зв'язано з х співвідношенням у²=8х, а аргумент х зростає рівномірно із швидкістю чотири одиниці за секунду?

14. Ордината точки, що описує коло х²+у²=36, зменшується із швидкістю 2 см/с. З якою швидкістю змінюється абсциса точки, якщо ордината стає рівною 2 cм?

15. В якій точці еліпса 9х²+4у²=360 ордината спадає з такою самою швидкістю, з якою абсциса зростає?

16. Сторона квадрата збільшується із швидкістю v. Яка швидкість зміни периметра і площі квадрата в той момент, коли сторона його дорівнює 5?

17. Радіус кола змінюється із швидкістю v. Яка швидкість зміни довжини кола і площі круга в той момент, коли його радіус дорівнює R?

18. При якій зміні кута швидкість зміни синуса і тангенса одного й того самого кута однакові?

19. Швидкість зменшення косинуса збільшилася в п разів. У скільки разів при цьому змінилася швидкість зменшення котангенса?

20. Вважаючи, що об'єм стовбура дерева пропорційний кубу його діаметра і що останній рівномірно збільшується із року в рік, показати, що швидкість росту об'єму, коли діаметр дорівнює 90 см, в 25 разів більша швидкості, коли діаметр дорівнює 18 см.

21. Точка рухається по кривій ρ=2^φ/2π Знайти швидкість зміни полярного радіуса ρ щодо полярного кута φ.

22. Точка рухається по кривій ρ=aφ². Знайти швидкість зміни полярного радіуса, якщо відомо, що він обертається з кутовою швидкістю ω.

23. Точка рухається по колу ρ=2Rsinφ. Знайти швидкість зміни абсциси і ординати точки, якщо полярний радіус обертається з кутовою швидкістю ω. Полярна вісь є абсцисою, полюс - початком системи декартових координат.

24. Круг радіуса R котиться без ковзання по прямій. Центр круга рухається із сталою швидкістю v. Знайти швидкість зміни абсциси х і ординати у для точки, що лежить на границі круга.

25. При зарядці конденсатора зв'язок між його зарядом і напругою визначається за формулою q=4×10^-7u⁴-10^-12u², де q - заряд у кулонах; u - напруга конденсатора у вольтах. Знайти динамічну ємність конденсатора при напрузі 50 кВ (динамічна ємність С =dq/du.)

26. Насос подає воду в циліндричний бак, діаметр якого 6 дм. Висота підйому води збільшується на 1 дм щосекунди. Знайти швидкість наповнення бака.

27. На відстані 5 км від прямолінійного берега міститься маяк, ліхтар якого робить повний оберт за 1 хв. Знайти швидкість, з якою б промінь світла ковзав по прямолінійному берегу в момент, коли він створює з береговою лінією кут 60°.

28. Пліт підтягують до берега за допомогою каната, який намотується на коловорот зі швидкістю 3 м/хв. Визначити швидкість руху плота в той момент, коли його відстань від берега дорівнюватиме 25 м, якщо коловорот розміщено на березі вище поверхні води на 4 м.

29. Швидкість зменшення косинуса збільшилася в 5 разів. У скільки разів при цьому змінилася швидкість зменшення котангенса?

30. Швидкість зменшення косинуса збільшилася в 7 разів. У скільки разів при цьому змінилася швидкість зменшення котангенса?

Задача^Δ 58. Геометричне застосування похідної

1. В яких точках лінії у=x²(х-2)² дотичні паралельні осі Ох?

2. Скласти рівняння дотичних до лінії у=х-1/x точках її перетину з віссю абсцис.

3. В яких точках лінії у=sinх+cosх дотичні паралельні осі Ох?

4. Знайти кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до кубічної параболи у=х³: а) в початку координат; б) в точці А (1; 1); в) в точці В (-2; -8).

5. В якій точці дотична до параболи у=x²-2х паралельна: а) осі Ох; б) прямій у=2х-1?

6. Чи може дотична до гіперболи у=1/x утворювати з віссю Ох гострий кут?

Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривих у точках.

7. у=tg2x у початку координат.

8. у = arcsin^(x-1)/₂ у точці перетину з віссю Ох.

9. у = arccos3х у точці перетину з віссю Оу.

10. у=lnx у точці перетину з віссю Ох.

11. у = у точках перетину з прямою у = 1.

12. Скласти рівняння дотичної і нормалі до параболи у=2х² у точці А(1;2).

13. Скласти рівняння дотичної до гіперболи у =2/x у точці А (2; 1).

14. В якій точці параболи у=x²-3х+5 дотична паралельна прямій

15. 2х+2у-5=0?

16. В яких точках гіперболи у=3/x дотична перпендикулярна до прямої х-3у-4=0?

17. Скласти рівняння дотичної до лінії у=х³-3x²+х+1; паралельної прямій 2х+у+5=0.

18. Скласти рівняння дотичної до лінії у=x⁴+6х+6, перпендикулярної до прямої 2х+4у-7=0.

19. Скласти рівняння нормалі до параболи у=х²-х+1, перпендикулярної до прямої 6х-2у-5=0.

20. Скласти рівняння нормалі до гіперболи y=(x-1)/(x+2), паралельної прямій 9х+3у+2=0.

21. Скласти рівняння дотичної до гіперболи у=2/x, паралельної її хорді, що сполучає точки з абсцисами х₁=1 і х₂=2.

22. Скласти рівняння нормалі до параболи у=х²-6х+6, перпендикулярної до прямої, що сполучає початок координат з вершиною параболи.

23. Довести, що дотичні до лінії y=(3x²+1)/(x²+3), проведені в точках, для яких у=1, перетинаються в початку координат.

24. Знайти відстань від початку координат до нормалі, проведеної до лінії у=e^2x+х² в точці з абсцисою х=0.

25. Знайти довжини дотичної, нормалі, піддотичної і під нормалі до лінії у=х³ в точці А (1; 1).

26. Знайти довжини дотичної, нормалі, піднормалі і під дотичної до лінії у=a ch в точці з абсцисою х = а (а > 0).

27. Скласти рівняння дотичної і нормалі до еліпса x²/16+3y²/16=1 в точці А (2; -2).

28. Скласти рівняння дотичної до кола х²+у²-5х+7у+6=0 в точках його перетину з координатними осями.

29. Скласти рівняння дотичної до параболи y²=4x+2 паралельної до прямої 3х-2у+6=0.

30. Скласти рівняння дотичної до гіперболи x²/16-y²/9=1 в точці М(5;9/4).

Задача^Δ 59. Геометричне застосування похідної

1. Скласти рівняння дотичних до гіперболи x²/2-y²/7=1, перпендикулярних до прямої 2х+4у-3=0.

2. Скласти рівняння нормалей до еліпса x²/9+3y²/5=1, перпендикулярних до прямої 2х-3у+5=0.

3. Скласти рівняння дотичної і нормалі до лінії х³+у³-3x²у²+3=0 в точці А(1;-1).

4. Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої х⁴+у⁴=4x²у²+1 в точці А(1;2).

5. Скласти рівняння нормалі до параболи у²=2х+4, паралельної прямій 4х-у+5=0.

6. Обчислити довжини дотичної, нормалі, піддотичної і піднормалі до параболи у²=4х в точці А(1; 2).

7. Показати, що у гіперболи x²-у²=а² довжина відрізка нормалі дорівнює полярному радіусу цієї точки.

8. Знайти кут, під яким лінія у=х³-х²+3x перетинає вісь Ох.

9. Знайти кут, під яким перетинаються лінії у = 2х і ху =2.

10. Під якими кутами перетинаються лінії: 1) у=(х-2)² і у=-4+6x-х²; 2) x²+у²=8 і у²=2х?

11. Знайти кути, під якими перетинаються лінії x²+у²-4х=1 і х²+у²+2у=9.

12. Знайти кут, під яким лінія у=х-1/ x² перетинає вісь Ох.

13. Довести, що сума довжин відрізків на осях координат, які відтинає дотична до кривої для всіх її точок дорівнює а.

14. Довести, що відрізок дотичної до астроїди х^2/3+у^2/3=а^2/3, обмежений координатними осями, має сталу довжину, що дорівнює а.

15. Довести, що відрізок, який відтинає на осі абсцис дотична в довільній точці кривої a/x²+b/y²=1, пропорційний кубу абсциси точки дотику.

16. Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до лінії х=4cost, у=2sin2t в точці A(2 ; ).

17. Скласти рівняння дотичної і нормалі до лінії х=t³-2t²+2, у=t²-3t+3 в точці A(1; 1).

18. Знайти кут, під яким дотична, проведена до кривої х=2sint, у=cos2t в точці А (1; 1/2), нахилена до осі Ох.

19. Знайти кут, під яким лінія х=t²-5t+6, у=t³-1 перетинає вісь Ох.

20. Знайти точку на лінії х=ln(1+t²), у=t-arctgt, в якій дотична паралельна прямій х-2у+3=0.

21. Скласти рівняння дотичної і нормалі до лінії х=t²+2t, у=t³+t в точці А (3; 2).

22. Скласти рівняння дотичної і нормалі до лінії х=е^2t+1, у=2-е^-t при t=0.

23. Скласти рівняння дотичної і нормалі до лінії х=3at/(1+t³), у=3at²/(1+t³) при t=1.

24. Знайти кути, під якими перетинаються лінії у=x² i х=⁵/₃ cost, у=⁵/₄ sint.

25. Знайти довжину дотичної, нормалі, піддотичної і піднормалі до циклоїди (х = о (/ — sin t), {Іу = а (1 — cos t) в довільній точці t=t₀.

26. Знайти довжину дотичної, нормалі, піддотичної і піднормалі до астроїди х = a sin³t, у = a cos³t в довільній точці.

27. Довести, що відрізок нормалі до кривої х=2аsint+asintcos²t, y=acos³t, обмежений осями координат, дорівнює 2a.

28. Дано коло ρ=2asinφ. Знайти кут між полярним радіусом і дотичною та кут α між полярною віссю і дотичною.

29. Знайти тангенс кута між полярною віссю і дотичною до лінії

30. ρ=a/cos²φ в точках, в яких ρ=2а.

31. Знайти тангенс кута між полярною віссю і дотичною в початку координат до лінії: 1) ρ=sin³φ; 2) ρ=sin3φ.

32. Довести, що дві кардіоїди ρ=a(1+cosφ) і ρ=а(1-cosφ) перетинаються під прямим кутом.

33. Знайти кут між дотичною і полярним радіусом точки дотику логарифмічної спіралі ρ=ae^kφ.

34. Профіль підйому шосе має форму кривої у=x/(1+x). Визначити кут нахилу підйому в його початку.

35. Шосе проходить через річку. Міст має форму параболи x²=2py. Яким потрібно зробити нахил насипу до мосту, щоб перехід з мосту на ухил був плавним? Довжина мосту l=20 м, стріла прогину f= 0,5 м.

36. Провід високовольтної лінії передачі електричного струму має довжину між опорами 80 м; рівняння лінії проводу у =0,001х². Який кут створюють між собою проводи біля кожної опори?