47.Ньютон әдісінің жинақтылығының жеткілікті шарты.

Мейлі кесіндісінде теңдеуінің түбірі айырылған, және де үздіксіз және кесіндісінде таңбалары тұрақты болсын.

Бұл әдістің геометриялық мағынасы төмендегідей: жуықтауы нүктесінде қисық сызығына жүргізілген жанаманың осімен қиылысу нүктесінің абсциссасына тең (а-сурет). Сондықтан оны жанамалар әдісі деп те атайды.

І-жағдай. Мейлі , , , (сурет-а) немесе , , , (сурет-б).

а) б)

қисығына нүктесінде жанама жүргізіп оның осімен қиылысу нүктесінің абсциссасын табамыз. Осы жанаманың теңдеуі

Айталық , деп

(1)

табамыз. Енді теңдеудің түбірі кесіндісінде жатады. Тағы да Ньютон әдісін қолданып, нүктесінде қисыққа жанама жүргізіп, -ні табамыз

.

Ары қарай жалғастырсақ

(2)

Осылайша түбірдің жуық мәндерінің тізбегін аламыз, оның әрбір келесі мүшесі оның алдындағы мүшеден түбірдің дәл мәніне жақынырақ. Бірақ та түбірдің дәл мәнінен үлкен болады, яғни - түбірдің артығымен алынған жуық мәні.

ІІ-ші жағдай. Мейлі , , , (2а-сурет) немесе , , , (2б-сурет)

а) б)

Егер В нүктесінен қисығына жанама жүргізсек, оның осімен қиылысу нүктесі кесіндісінде жатпайды. Сондықтан жанаманы нүктесінен жүргіземіз, оның теңдеуі

Айталық , деп

(3)

табамыз. Енді теңдеудің түбірі кесіндісінде жатады. Тағы да Ньютон әдісін қолданып, нүктесінде жанама жүргізсек, онда

.

Ары қарай жалғастырсақ

(4)

Алынған жуық мәндердің тізбегінің әрбір келесі мүшесі түбірдің шын мәніне жақындай түседі, ал -түбірдің дәл мәнінің кемімен алынған жуық мәні болады.

І және ІІ жағдайды салыстырсақ, олардың бір-бірінен айырмашылығы алғашқы жуықтауды алуда, яғни І-жағдайда , ІІ-жағдайда .

Түбірдің алғашқы жуықтауын мына ережені пайдаланып алу керек: алғашқы нүкте үшін кесіндісінің, функция мен оның екінші туындысының таңбалары бірдей болатын ұшын аламыз.

Қателікті бағалау үшін мына формуланы пайдалануға болады

(5)

мұнда

.

Бұл формула хорда әдісі үшін де жарайды. кесіндісі өте кішкене болған жағдайда, онда шарты орындалса, мұнда

, , онда -ші итерациядағы жуықтаудың дәлдігі

былайша бағаланады:

егер болса, онда

Егер кесіндісінде өте аз өзгеретін болса, онда есептеулерді жеңілдету үшін мына формуланы қолдануға болады

, (6)

яғни туындының мәнін алғашқы нүктеде бір рет есептеу жеткілікті.Бұның геометриялық мағынасы нүктесінде жанама, нүктесінде жүргізілген жанамаға параллель түзумен ауыстырылады.

Мысал 1. теңдеуінің [-2,75; -2,5] кесіндісінде орналасқан түбірін жанамалар әдісімен дәлдікпен анықта.

Шешуі. f (-2,75) · f" (х)>0 болатындығы бұрын анықталған (мысал 1, хордалар әдісі). Сондықтан жанамалар әдісін қолдану үшін деп аламыз. Есептеулерді (6)-шы формула бойынша жүргіземіз. Табамыз

Барлық есептеулерді келесі кестеге орналастырамыз:

Бұл кестеден <0,001, сондықтан