42.Ньютон әдісінің геометриялық интерпретациясын беріңіз
Мейлі
кесіндісінде
теңдеуінің түбірі айырылған, және де
үздіксіз және
кесіндісінде таңбалары тұрақты болсын.
Бұл
әдістің геометриялық мағынасы
төмендегідей:
жуықтауы
нүктесінде
қисық сызығына жүргізілген жанаманың
осімен қиылысу нүктесінің абсциссасына
тең (а-сурет). Сондықтан оны жанамалар
әдісі деп те атайды.
І-жағдай.
Мейлі
,
,
,
(сурет-а) немесе
,
,
,
(сурет-б).
а) б)
қисығына
нүктесінде жанама жүргізіп оның
осімен қиылысу нүктесінің абсциссасын
табамыз. Осы жанаманың теңдеуі
Айталық
,
деп
(1)
табамыз.
Енді теңдеудің түбірі
кесіндісінде жатады. Тағы да Ньютон
әдісін қолданып,
нүктесінде қисыққа жанама жүргізіп,
-ні
табамыз
.
Ары қарай жалғастырсақ
(2)
Осылайша
түбірдің
жуық мәндерінің тізбегін аламыз, оның
әрбір келесі мүшесі оның алдындағы
мүшеден түбірдің дәл мәніне
жақынырақ. Бірақ та
түбірдің дәл мәнінен
үлкен болады, яғни
-
түбірдің артығымен алынған жуық мәні.
43.Хорда әдісінің геометриялық интерпретациясын беріңіз.
теңдеуі берілсін, мұнда - интервалында бірінші және екінші ретті туындылары бар, үздіксіз функция болсын. Түбірі айырылған және кесіндісінде жатады делік, яғни .
Хордалар әдісінде, жеткілікті кішкене аралығында қисығы оны керетін хордамен алмастырылады. Түбірдің жуық мәні үшін хорданың осімен қиылысу нүктесі қабылданады.
І. Функцияның
І-ші және ІІ-ші ретті туындыларының
таңбалары бірдей болған жағдайын
қарастырайық, яғни
.
Мейлі
,
,
,
болсын. Функцияның графигі
,
нүктелері арқылы өтсін.
функциясының графигінің
осімен қиылысу нүктесі
теңдеуінің түбірі болады. Бұл нүкте
бізге белгісіз, сондықтан оның орнына
хордасының
осімен қиылысу нүктесін
-ді
аламыз. Бұл түбірдің
жуық мәні болады.
1-ші
сурет
және нүктесі арқылы өтетін хорданың теңдеуі .
мәнін табамыз, онда . Сонда,
(1)
Бұл хордалар әдісінің формуласы деп аталады.
Енді теңдеудің түбірі кесіндісінде жатады. Егер түбірдің мәні бізді қанағаттандырмаса, онда кесіндісіне хордалар әдісін қолданып, түбірдің мәнін дәлірек анықтаймыз. , нүктелерін қосып, хордасының осімен қиылысу нүктесі -ні табамыз.
Бұл процесті ары қарай жалғастырсақ
,...,
(2)
Бұл процесті түбірдің жуық мәні берілген дәлдікпен табылғанша жалғастырамыз.
Бұл формуламен , , , болған жағдайда да есептеуге болады. (1б-сурет).
ІІ.
Енді І-ші және ІІ-ші ретті туындының
таңбалары әр түрлі болған жағдайды
қарастырайық.
.
Мейлі
,
,
,
болсын.
және
нүктелерінен өтетін хорданың теңдеуін
жазайық:
деп болжап, хорданың
осімен қиылысу нүктесі
-ді
табайық
(3)
Теңдеудің
түбірі
аралығында жатады.
a)
б)
кесіндісіне хорда
әдісін қолданып,
-ні
табамыз.
(31)
Жалпы
(4)
Бұл формуламен , , , болған жағдайда түбірді табуға болады (2б-сурет).
Сонымен, егер болса, жуық түбір 1-ші және 2-ші формуламен, ал егер болса, 3-ші және 4-ші формуламен есептеледі. Бұл формулаларды мына ереже бойынша таңдаймыз:
Кесіндінің қозғалмайтын ұшы үшін, функцияның және оның екінші туындысының таңбалары бірдей болатын ұшты аламыз.
Егер
болса онда в ұшы қозғалмайтын, ал
түбірге а ұшынан жақындаймыз. (1-ші және
2-ші формула). Егер
болса, онда а ұшы қозғалмайтын, ал
түбірге в ұшынан жақындаймыз (3-ші және
4-ші формула).
Жуықтаудың
қателігін бағалау үшін мына формуланы
пайдаланамыз
(5)
түбірдің дәл мәні,
-ші
және
-ші
жуықтаудың мәні. Бұл формула мына
жағдайда орынды
.
(6)
Мұнда
,
Мысал
1.
теңдеуінің кіші түбірін хорда әдісімен
ε=0.001 дәлдікпен анықта. Теңдеудің
түбірлері айырылған және кіші түбірі
[-3; -2] кесіндісінде жатады.
Шешуі. (6)-шы шарттың орындалуын тексереміз:
<
2m.
[-3, -2] кесіндісінің ортасын аламыз, яғни х=-2,5 нүктесін, сөйтіп [-3; -2,5] кесіндісін таңдаймыз. (6)-шы шарттың орындалуын тексереміз:
М<2m.
Енді [-3; -2,5] кесіндісінің ортасы– х=-2,75 нүктесін аламыз; f (2,75) <0, f (-2,5)>0, f (-3)<0 болғандықтан [-2,75; 2,5] кесіндісін таңдаймыз. Табамыз
яғни бұл жағдайда M<2m шарты орындалады.
Сонымен, [-2,75; -2,5] кесіндісінде жататын түбірдің қателігін бағалау үшін (5)-ші формуланы қолдануға болады:
<
яғни
түбірге жүйелі жақындау процессін
шарты орындалғанша жүргіземіз.
Екінші
туындының таңбасын анықтап, қай
формуламен есептеулер жүргізу керектігін
анықтаймыз. Табамыз
на отрезке [-2,75; -2,5] кесіндісінде
теңсіздіктері орындалады. Сондықтан
кесіндінің қозғалмайтын ұшы үшін x=2,75
аламыз. Сонда есептеулерді (3) және (4)
формулалармен жүргіземіз:
мұнда а=-2,75 және f(a)=-1,111. Егер соңғы өрнекті мына түрге келтірсек
онда
бірден екі жүйелі жуықтаудың арасындағы
айырмашылықты және есептеулердің
аяқталуын тексере аламыз, яғни
теңсіздігінің орындалуын тексереміз.
Барлық есептеулерді келесі кестеде орындаған ыңғайлы:
Бұл
кестеден,
<0,001,
сондықтан
мыңдық
бірлікке дейін дөңгелектеп
екенін аламыз.
44.Ньютон әдісінің геометриялық интерпретациясын беріңіз.
Мейлі кесіндісінде теңдеуінің түбірі айырылған, және де үздіксіз және кесіндісінде таңбалары тұрақты болсын.
Бұл әдістің геометриялық мағынасы төмендегідей: жуықтауы нүктесінде қисық сызығына жүргізілген жанаманың осімен қиылысу нүктесінің абсциссасына тең (а-сурет). Сондықтан оны жанамалар әдісі деп те атайды.
І-жағдай. Мейлі , , , (сурет-а) немесе , , , (сурет-б).
а) б)
қисығына нүктесінде жанама жүргізіп оның осімен қиылысу нүктесінің абсциссасын табамыз. Осы жанаманың теңдеуі
Айталық , деп
(1)
табамыз. Енді теңдеудің түбірі кесіндісінде жатады. Тағы да Ньютон әдісін қолданып, нүктесінде қисыққа жанама жүргізіп, -ні табамыз
.
Ары қарай жалғастырсақ
(2)
Осылайша түбірдің жуық мәндерінің тізбегін аламыз, оның әрбір келесі мүшесі оның алдындағы мүшеден түбірдің дәл мәніне жақынырақ. Бірақ та түбірдің дәл мәнінен үлкен болады, яғни - түбірдің артығымен алынған жуық мәні.
ІІ-ші жағдай. Мейлі , , , (2а-сурет) немесе , , , (2б-сурет)
а) б)
Егер
В нүктесінен
қисығына жанама жүргізсек, оның
осімен
қиылысу нүктесі
кесіндісінде жатпайды. Сондықтан
жанаманы
нүктесінен жүргіземіз, оның теңдеуі
Айталық , деп
(3)
табамыз.
Енді теңдеудің түбірі
кесіндісінде жатады. Тағы да Ньютон
әдісін қолданып,
нүктесінде жанама жүргізсек, онда
.
Ары қарай жалғастырсақ
(4)
Алынған жуық мәндердің тізбегінің әрбір келесі мүшесі түбірдің шын мәніне жақындай түседі, ал -түбірдің дәл мәнінің кемімен алынған жуық мәні болады.
І
және ІІ жағдайды салыстырсақ, олардың
бір-бірінен айырмашылығы алғашқы
жуықтауды алуда, яғни І-жағдайда
,
ІІ-жағдайда
.
Түбірдің алғашқы жуықтауын мына ережені пайдаланып алу керек: алғашқы нүкте үшін кесіндісінің, функция мен оның екінші туындысының таңбалары бірдей болатын ұшын аламыз.
Қателікті бағалау үшін мына формуланы пайдалануға болады
(5)
мұнда
.
Бұл
формула хорда әдісі үшін де жарайды.
кесіндісі өте кішкене болған жағдайда,
онда
шарты орындалса, мұнда
,
,
онда
-ші
итерациядағы жуықтаудың дәлдігі
былайша бағаланады:
егер
болса, онда
Егер
кесіндісінде
өте аз өзгеретін болса, онда есептеулерді
жеңілдету үшін мына формуланы қолдануға
болады
,
(6)
яғни
туындының мәнін алғашқы нүктеде бір
рет есептеу жеткілікті.Бұның геометриялық
мағынасы
нүктесінде жанама,
нүктесінде жүргізілген жанамаға
параллель түзумен ауыстырылады.
Мысал
1.
теңдеуінің [-2,75; -2,5] кесіндісінде
орналасқан түбірін жанамалар әдісімен
дәлдікпен
анықта.
Шешуі.
f (-2,75) · f" (х)>0 болатындығы бұрын
анықталған (мысал 1, хордалар әдісі).
Сондықтан жанамалар әдісін қолдану
үшін
деп
аламыз. Есептеулерді (6)-шы формула
бойынша жүргіземіз. Табамыз
Барлық есептеулерді келесі кестеге орналастырамыз:
Бұл
кестеден
<0,001,
сондықтан
