40.Кесіндіні қақ бөлу әдісімен [a,b] кесіндісінде түбірді ε дәлдікпен табу үшін қанша итерация n керектігін есепте.
Мейлі f(x)=0 теңдеуі
берілсін, мұнда f(x) – үздіксіз функция.
Осы теңдеудің [a, b] кесіндісінде жататын
нақты түбірін табу керек.
f(x)=0 теңдеуін оған эквивалентті
(1)
теңдеуімен
алмастырамыз. Алғашқы жуықтау үшін
алып
, n=0,1,2,… (2)
тізбегін
тұрғизамыз. Бұл тізбек n
үмтылғанда кез-келген
үшін, (1)-ші теңдеудін [a, b] кесіндісіндегі
дәл шешіміне жинакталады. Итерациялық
процестің жинақты болуының жеткілікті
шартын келтірейік.
Теорема.
Мейлі
функциясы [a, b] кесіндісінде анықталған,
дифференциалданатын және оның барлық
мәндері
болсын. Бір q саны табылып
кесіндісінде
<1
болса, онда
тізбегі кез-келген
үшін,
теңдеуінің
кесіндісіндісіндегі жалғыз шешіміне
жинақталады, яғни
Егер
кесіндісінде,
оң болса, онда
<
егер теріс болса, онда
<
теңдеуінің дәл
шешімі.
Итерациялық
процестің бір қадамын жазып көрсетейік.
Алдыңғы қадамда табылған
мәні үшін,
есептейміз. Егер
>ε
болса,
деп болжап келесі итерацияны орындаймыз.
Егер
<ε
болса, есептеуді тоқтатып, түбірдің
жуық мәнін
деп қабылдаймыз. Алынған нәтиженің
қателігі туындының
таңбасына байланысты. Егер
>0,
табылған түбірдің қателігі
егер
<0
болса, онда қателік ε-нен аспайды.
Әдістің
геометриялық интерпретациясы. y=x және
функцияларының графиктерін тұрғызамыз.
теңдеуінің түбірі
,
қисығының
у=х түзуімен қиылысу нүктесінің
абсциссасы болады (3-ші сурет). Алғашқы
жуықтау үшін кез-келген
нүктесін алып, сынық сызықтар тұрғызамыз
(3-ші сурет, а, б). Бұл қисықтардың
төбелерінің абсциссалары, түбірге
жүйелі түрде жақындауды көрсетеді.
Егер [a, b] кесіндісінде
<0
болса, онда жүйелі түрде жақындау
түбірдің
маңында шайқалады, ал егер
оң болса, онда жүйелі жуықтау тубірге,
бірсарынды жақындайды.
Жәй
итерация әдісін қолданғанда негізгі
мәселе
функциясын таңдау болады. Жәй итерация
әдісінде
функциясын,
<1
болатындай етіп таңдау керек. Бұл
жағдайда тізбектің
түбірге жинақталу жылдамдығы, q саны
кіші болған сайын жоғары болады.
41.Хорда әдісінің геометриялық интерпретациясын беріңіз.
теңдеуі берілсін,
мұнда
-
интервалында бірінші және екінші ретті
туындылары бар, үздіксіз функция болсын.
Түбірі айырылған және
кесіндісінде жатады делік, яғни
.
Хордалар
әдісінде, жеткілікті кішкене
аралығында
қисығы оны керетін хордамен алмастырылады.
Түбірдің жуық мәні үшін хорданың
осімен
қиылысу нүктесі қабылданады.
І.
Функцияның І-ші және ІІ-ші ретті
туындыларының таңбалары бірдей болған
жағдайын қарастырайық, яғни
.
Мейлі
,
,
,
болсын. Функцияның графигі
,
нүктелері арқылы өтсін.
функциясының графигінің
осімен қиылысу нүктесі
теңдеуінің түбірі болады. Бұл нүкте
бізге белгісіз, сондықтан оның орнына
хордасының
осімен қиылысу нүктесін
-ді
аламыз. Бұл түбірдің жуық мәні болады.
1-ші
сурет
және
нүктесі арқылы өтетін хорданың теңдеуі
.
мәнін табамыз,
онда
.
Сонда,
(1)
Бұл хордалар әдісінің формуласы деп аталады.
Енді
теңдеудің түбірі
кесіндісінде жатады. Егер түбірдің
мәні бізді қанағаттандырмаса, онда
кесіндісіне хордалар әдісін қолданып,
түбірдің мәнін дәлірек анықтаймыз.
,
нүктелерін қосып,
хордасының
осімен қиылысу нүктесі
-ні
табамыз.