1.3. Изменение суммы и разности

Если одно из слагаемых увеличить или уменьшить на несколько единиц, то сумма соответственно увеличится или уменьшится на столько же единиц. Так как сумма содержит в себе столько единиц, сколько их заключается во всех слагаемых, вместе взятых, то отсюда следует, что если какое-нибудь слагаемое увеличится на несколько единиц, то все эти единицы войдут в сумму, и потому новая сумма будет больше прежней на столько единиц, сколько их было прибавлено к слагаемому [11,83].

Наоборот, если какое-нибудь слагаемое уменьшить на несколько единиц, то эти единицы не войдут в новую сумму. Поэтому сумма будет меньше прежней на столько единиц, сколько их было отнято от слагаемого.

Для каких угодно чисел а и b, сумма которых равна с,

(а ± d) + b = с ± d.

Действительно:

(a±d)+b = a±d+b (сочетательность) = (а + b) ± d (переместительность и сочетательность) = с ± d (так как, а + b = с).

Пример. 50 +17 = 67

(50 ± 10) + 17 = 67 ± 10.

Следствие. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а другое уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится [11,83].

Пример: 71 + 29 + 35 = 135.

Одно из слагаемых увеличим на 20, другое уменьшим на 20:

(71 + 20) + (29 - 20) + 35 = 91 + 9 + 35 = 135.

3 а д а ч а. В огороде, площадь которого 60 а, были посажены картофель, лук, морковь, в другом огороде под картофелем было на 10 а больше, чем в первом, а под луком и морковью на 8 а меньше, чем в первом. Какую площадь занимал второй огород?

Решение задачи основано на зависимости между изменением слагаемых и изменением суммы. Первое слагаемое увеличивается на 10, второе уменьшается на 8. Сумма должна увеличиться на 10-8. Задача решается двумя действиями:

1. 10 - 8 = 2;

2. 60 + 2 = 62.

62 а — площадь второго огорода. Таким образом, вторая сумма находится без определения ее слагаемых [11,83].

2. Если все слагаемые данной суммы увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то сумма соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз [11,84].

Так, если а + b = с, то 1) an + bn — сп и

2) а : п + b : n = с : п.

В самом деле:

1). an + bn = (а + b) n (распределительный закон умножения) — с ∙ п

(так как а + b = с) и

2). а : п + b : п =(а + b) : n (распределительность при делении)= с : п

(так как а + b =с).

Пример: 28+ 12 = 40.

28 ∙ 2 + 12 ∙ 2 = 40∙2 = 80.

28. 2 + 12 : 2 = 40 : 2 = 20.

2. Если вычитаемое (одно из двух слагаемых) не изменяется, то увеличение или уменьшение уменьшаемого (суммы) возможно только при условии соответствующего увеличения или уменьшения разности (второго слагаемого). Следовательно, и, обратно, увеличение или уменьшение уменьшаемого на несколько единиц повлечет соответственно увеличение или уменьшение разнoсти на столько же единиц (при условии, что вычитаемое не изменяется) [11,84].

Если разность а — b =с, то:

1) (а + п) - b = с + n

2) (а - п) -b = с - п (при условии, что а — п > b). Действительно:

(а + п) - b = а + п — b (сочетательность) = (а — b) ± n (переместительность и сочетательность ряда сложений и вычитаний) = (с + п)[11,84].

3адача. Рабочий ежемесячно сберегал из своей зарплаты 20 руб. Сколько он будет сберегать ежемесячно, если его зарплата увеличится на 15 руб. в месяц, а расходы останутся те же?

Сбережение — это разность между зарплатой (уменьшаемое) и расходами (вычитаемое). С увеличением зарплаты на 15 руб. сбережения увеличатся на 15 руб., так как расходы не изменились. Следовательно, сбережения будут равны: 20+15 = 35(руб.).

1.Если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность изменится в противоположном смысле на столько же единиц[11,84].

Уменьшаемое есть сумма вычитаемого и разности. Если сумма (уменьшаемое) остается без изменения, а одно из слагаемых (вычитаемое) увеличивается или уменьшается на несколько единиц, то другое слагаемое (разность) должно, наоборот, уменьшиться или увеличиться на столько же единиц.

Для каких угодно натуральных чисел, если а — b — с, то:

1) а — (b + n) = с — п и

2) а — (b — п) = с + п. Действительно:

а— (b + п) = а— b + n (сочетательность ряда сложений и вычитаний) =

= (а — b) + п (определение ряда сложений и вычитаний) = с + п.

Задача. Рабочий из своей зарплаты сберегал ежемесячно 20 руб., но в один из месяцев сделал расход больше обычного на 15 руб. при той же зарплате. Каковы были его сбережения за этот месяц?

Зарплата — уменьшаемое, расходы — вычитаемое, сбережения- разность.

Очевидно, что при увеличении расходов на 15 руб. сбережения уменьшатся на 15 руб. и окажутся равными 20—15 = 5 (руб.).

Если в следующем месяце расходы рабочего уменьшатся на 12 руб., то сбережения в этом месяце соответственно увеличатся на эту же сумму, т. е. на 12 руб., и будут равны 5 + 12 = 17 (руб.)[11,83].

Пример. 300 — 175 = 125.

300 — (175 +50) = 300 — 225 = 75.

300. — (175 — 50) = 300 — 125 = 175.

3.Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить на одно и то же число, то разность не изменится[11,84].

Это свойство является следствием двух предыдущих свойств разности.

В самом деле, от увеличения или уменьшения уменьшаемого на некоторое число п разность соответственно увеличится или уменьшится на п единиц. От увеличения же или уменьшения вычитаемого на п единиц разность изменится в противоположном смысле на столько же единиц. Следовательно, при увеличении или уменьшении и уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число п разность не изменится[11,84].

Таким образом, если а — b = с, то:

1) (а + п) — (b + n) = с и 2) (а — n) — (b - n) = с.

Пример. 50 — 15 = 35.

(50 + 10) — (15 + 10) = 60 — 25 = 35.

50. — 10) — (15 — 10) = 40 — 5 = 35.

4. Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить в одно и то же число, то разность соответствено увеличится или уменьшится во столько же раз[11,85].

Для каких угодно натуральных чисел а и b, если а — b — с, то

1) an — bп = сп и

2) а : п — b : п = с : п, где а : n и b : п.

Это свойство является следствием распределительного закона: умножения и деления разности.

Задача. Из своей месячной зарплаты в 70 руб. рабочий расходует ежемесячно 50 руб. Сколько сбережений будет у него через 3 месяца?

Решение. (70 — 50) ∙ 3 = 20 ∙ 3 = 60 (руб.). В данном случае сбережение за один месяц мы множим на 3.

Но есть и другое решение.

70 ∙ 3 — 50 ∙ 3 = 210 — 150 = 60 (руб.). В этом случае из зарплаты за 3 месяца мы вычитаем расход за 3 месяца. Ответ тот же.

Определим сбережение за полмесяца. Решение задачи будет такое:

(70 — 50) : 2 = 20 : 2 = 10 (руб.), или 70 : 2 — 50 : 2 = 35 — 25 = 10 (руб.)

Следствия. Из рассмотренных нами случаев изменения разности от увеличения или уменьшения уменьшаемого или вычитаемого на несколько единиц вытекают следующие возможные способы прибавления к разности и вычитания из разности данного числа:

1. Чтобы к разности двух чисел прибавить данное число, можно прибавить это число к уменьшаемому или вычесть его из вычитаемого[11,85].

1. (а — b) + с = (а + с) — b и

2. (а — b) + с = а — (b — с), где b > с.

П р и м е р. 45 — 20 = 25. Чтобы к данной разности прибавить 5, можно или прибавить это число к уменьшаемому, или же вычесть его из вычитаемого.

Действительно: (45 + 5) — 20 = 30, или

45 — (20 — 5) = 30.

Чтобы из разности двух чисел вычесть данное число, можно вычесть это число из уменьшаемого или прибавить его к вычитаемому[11,86].

1) (а - b) - с = (а - с) - b,

2) (а - b) - с = а- (b + с); а - b> с.

Пример. 45 — 20 = 25. Чтобы из данной разности вычесть 5, можно или вычесть это число из уменьшаемого, или же прибавить его вычитаемому. Действительно:

(45 — 5 ) — 20 = 20,

45 — (20 + 5) = 20.

Устные вычисления.

1.Округление слагаемого:

1 197 + 456 = (1 200 + 456) —3=1 656 — 3=1 653.

2.Округление вычитаемого:

783 — 598 = (783 — 600) + 2 = 183 + 2 = 185.

Задача. Одному трактористу осталось убрать на его участке 17 га. Сколько гектаров осталось убрать другому трактористу, если его участок был на 3 га меньше, чем у первого, а убрал он на 4 га больше, чем первый?

Решение задачи объясняется изменением разности (остатка). Величина участка каждого тракториста — уменьшаемое, убранная часть участка — вычитаемое, величина неубранной части участка тракториста — остаток Во втором случае уменьшаемое уменьшилось на 3, вычитаемое увеличилось на 4. Остаток должен уменьшиться на 3 + 4 = 7; он будет равен 17 — 7 =10

Ответ: второму трактористу осталось убрать 10 га[11,87].