13.Логарифмическое дифференцирование.
Принимается для диф-ния степенно-показательных ф-ций, т.е. вида y=f(x)g(x), а также сложных, но удобных для логарифмирования (например для нахождения производной произведения нескольких функций). Для этого нужно прологарифмировать обе части функции, а затем просто выразить из результата y’.
Производные высших порядков.
Пусть ф-ция y=f(x) дифф-ма, т.е. сущ-ет f’(x). Т.к. f’(x) – ф-ция от х, то ее также можно продиф-ть, т.е. от нее взять производную.
Производная от производной ф-ции, если она сущ-ет, наз пр-ной 2-го порядка(2-я пр-ная) и обозначается y’’.
f’’(x)=(f’(x))’ =lim(∆x→0) (f’(x+∆x)-f’(x))/∆x
Произв-я от произв-ной (n-1)-го порядка наз производной n-го порядка, обозначается
f(n)(x)=(f(n-1)(x))’ =lim(∆x→0) (f(n-1)(x+∆x)-f(n-1)(x))/∆x
Правила дифф-ния соотв-ют осн правилам дифф-ния.
14 Производн. Ф-ий заданных неявно
У=f(x)-явная. F(x;y)=0 (1) неявная ф-ия. yx’-?
Для нахождения yx надо диф-ть (1) по переменным х и у. рассматривая при этом у как сложную ф-ию от х т.е. домножая на yx’. В полученном выражении находим подобные члены содержащие yx’ и решая его как Ур-е найдем yx’.
Произ-ие ф-ий заданных параметрически
Y=f(x) задана
{X=z(t),y=h(t),
z,h-диф-уемы по параметру t, zt’ не равен 0
Пусть для x=z(t) существует ф-ия t=g(x);
Y=f(x) – сложная функция
{y=h(t), t=g(x) то
y’=h’(t)*g’(x), но по правилу 5
{5. y=f(x) и x=g(y) – взаимно-обратные ф-ции, то yx'=1/xy'}
g’(x)=1/z’(t)
Yx’=Yt’/Xt’=F(t)
Yxx’’=F’(t)/X’t
Ур.кас-ой. нормали.
Касательная - предельное положение секущей.
Нормаль-прямая, перпендик. касательной в точке. Геом.смысл производной
f’(x)=tgA=K
Из аналит.геом
Ур.кос:y-y0=f’(x0)(x-x0) K=-1/f’(x0)
Ур.нормали y-y0=-(x-x0)/f’(x0)
15.Дифференциал функции
У=f(x) - диф-ма. т. е. сущ-т f’(x)=Lim(Δx→0)ΔY/ΔX
В силу основной теоремы о пределах имеем:
Δy/Δx=f ’(x)+α(Δx) (α(Δx)→0 когда Δx→0)
Δy=f’(x)Δx+ α(Δx)Δx
f’(x)Δx-гл.часть приращения Δy наз-ся диф-ом функции. dy=f ’(x) Δx
Если у=х то dx=Δx dy=f ’(x)dx
Δy=dy+ αΔx
Δy≈dy f’(x)=dy/dx
f(x)-f(x0) ≈ f ’(x0)Δx
f(x) ≈ f(x0)+f’(x0)Δx
геометрич. смысл
tg(α)=f’(x)
TN=tgαΔx=f ’(x)dx=dy, MN = Δy
{на графике ВМЕСТО X+DX надо писать X+ΔX!}
Т.о.диф-л ф-ии y=f(x) в т.Х есть приращение ординаты касательной приведенный к графику ф-ии y=f(x) в точке (x;f(x))
Св-ва диф-ов: d(u+v)=du+dv
d(uv)=udv+vdu
d(u/v)=(vdu-udv)/v²
16 диф-ы высших порядков
Рассм. дифференциал функции:
dy=f ‘(x)dx. Опр. Диф-лом (n)-го порядка наз. дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка
d(d(n-1)y)=d(n)y
d2y=d(dy)=d(f’(x)dx)=(f’(x)dx)’dx=f’’(x)dx2
Диф-ал n-го порядка равен:
Диф-ы сложных ф-ий
Расм. Сложную ф-ию
{y=f(u),u=g(x)}
Y=f(g(x))=F(x)
dy=F’(x)dx=f’
(u)g’(x)dx=f’(u)du
Св.инвариантности: диф-л 1-го порядка сохр. свою форму независимо от того будет ли аргумент ф-ии независимой переменной или функцией.
Для диф-в высшего порядка это св-во не сохраняется