48 Признаки сравнения.

Рассмотрим 2 ряда:

, причём 0≤a_n≤b_n

1 признак: Тогда, зная, что ряд b сходится, можно утверждать, что ряд а тоже сходится; если ряд а расходится то и ряд b тоже расходится. И никак не наоборот!

2 признак: Если существует то ряды a и b сходятся или расходятся одновременно.

49. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши.

50. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка остатка ряда .Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

Признак Лейбница

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда,Формулировка теоремы:

Пусть для ряда выполняются следующие условия: знакочередование (например: ) an + 1 < an (монотонное убывание {an}) . Тогда этот ряд сходится.

Замечание: Если, выполнены все условия, и ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Если выполнены все условия, но ряд из модулей расходится, то исходный ряд сходится условно.Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым.

Пример

. Ряд из модулей иммет вид - это гармонический ряд, который расходится.

Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

1. знакочередование выполнено

2. 

3. .

Следовательно, т.к. все условия выполнены, но ряд из модулей расходится, искомый ряд сходится условно.

Оценка остатка ряда Лейбница

Из доказательства признака Лейбница следует, что сумма знакопеременного сходящегося ряда меньше по модулю первого члена остатка ряда. Поскольку любой остаток ряда r_n является также рядом Лейбница, то для него справедливо:

.

51. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Опр. Ряд, у которого члены могут быть как положительными, так и отрицательными, называется знакопеременным рядом. Рассмотрим числовой ряд

(1) U1+U2+U3+…+Un – члены ряда и положит. и отрицат.

(2) |u1|+|u2|+|u3|+|Un|+… - ряд из абсолютных величин членов ряда, является знакоположительным рядом.

Теорема. Если ряд, составленный из абсолютных величин сходится, то сходится и знакопеременный ряд. Это является достаточным признаком сходимости знакопеременного ряда, но не является необходимым, т.е. обратное предположение неверно: знакопеременный ряд может сходиться, а ряд из абсолютных величин расходится.

Опр.1. Знакоперем. ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из абсолютных величин и сам ряд. Опр.2. Знакоперем. ряд сходится условно, если сам ряд сходится, а ряд из абсолютных величин расходится. Замечание. Если сам знакопеременный ряд расходится, то он никак не может сходится.

Если знакопеременный ряд по признаку Лейбница сходится, а ряд из абсолютных величин расходится, то ряд сходится условно.

Если (2) сходятся: (1) – абсолютно сходящийся

(2) расход., (1) – сход.: (1) – условно сходящийся

Теорема об абсолютной сходимости:

Если (2) – сходится, то (1) – тоже сходится (обратное неверно)