44 Лоу с постоянными коэффициентами.

(1) y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+…+a_ny=0

Найдем решение в виде y=e^kx

L(y)=0; Для y=e^kx L(y)=k⁽ⁿ⁾e^kx+a₁k^(n-1)e^kx+…+a_ne^kx= e^kx[k⁽ⁿ⁾+a₁k^(n-1)+…+a_n]= {обозначим значение в квадратных скобках за P(x) – характеристический многочлен}= e^kx∙P(x)

Теорема. y=e^k0x – решение уравнения (1) тогда и только тогда, когда k₀ – корень многочлена P(x);

P(x)=k⁽ⁿ⁾+a₁k^(n-1)+…+a_n этот многочлен имеет n-корней.

Решение уравнения (3)

Рассмотрим частный случай при n=2

(2) y’’+a₁y’+a₂y=0

k²+ka₁+a₂=0=P(x); k₁, k₂ – корни уравнения P(x)=0; Рассмотрим 3 случая:

1) k₁≠k₂ – действительные

=> y₁=e^k1x; y₂=e^k2x – ФСР; y_oo=c₁e^k1x+c₂e^k2x;

2) k₁=k₂; y₁=e^kx – решение (2); Доказано, что y₂=xe^kx – решение (2)

W(y₁,y₂)≠0 => это ФСР; y_oo=c₁e^kx+c₂x∙e^kx

3) k_1,2=α±βi

45 Линейные неоднородные уравнения(лну), структура их общего решения. Метод вариации произвольных постоянных.

(1) y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+…+a_ny=f(x) – ЛНУ → L[y]=f(x)

(2) y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+…+a_ny=0 – ЛОУ

Теорема о структуре общего решения ЛНУ

Общее решение ЛНУ(1) есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения, т. е.

y_он=y_чн+y_оо=y_чн+c₁y₁+…+c_ny_n, y₁..y_n – ФСР уравнения (2)

Метод Лагранжа (вариации произвольных постоянных)

L[y]=f(x)

L[y]=0 (2) → y_oo=c₁y₁+…+c_ny_n;

Пусть c_i=c_i(x) (i Є 1..n)

(*) y_он=c₁(x)y₁+…+c_n(x)y_n для нахождения c_i(x) составим систему

(c_i(x))`=φ_i(x) → c_i(x)=∫φ_i(x)dx=Ф_i(x)+k_i → подставим в (*)

46 Лну с постоянными коэффициентами, метод подбора частного решения.

(1) y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+…+a_ny=f(x) – ЛНУ с пост. коэффициентами

L[y]=f(x); y_он=y_чн+y_оо;

Метод подбора частного решения подходит для уравнений со специальной правой частью (f(x)). Она должна подходить под специальный шаблон:

, где α, β – действительные числа, P_m(x), Q_n(x) – многочлены степеней m и n с действительными коэффициентами

Если f(x) подходит под данный шаблон, то решение будет иметь вид:

, где r-показатель кратности корня α+βi характеристического многочлена соответствующего однородного уравнения (r=0, если α+βi не является корнем этого многочлена). L=max(m,n)

P_L(x), Q_L(x) – полные многочлены степени L с неопределенными коэффициентами.

++ Для примера решить уравнение y’’+y’-2y=cos(x)-3sin(x)

47 Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.

a₁,a₂ - члены ряда, a_n=f(n) - общий член ряда, S_n – n-ная частичная сумма S_n=a₁+a₂+…+a_n;

Если отбросить первые n членов ряда, то оставшийся ряд называется n-ным остатком и обозначается r_n.

Определение. Числовой ряд наз. сходящимся если существует конечный предел n-ной частичной суммы, где S – сумма ряда

Если при этом предел =∞ или не существует то ряд (1) расходится

Необходимое условие сходимости ряда: Если ряд (1) сходится, то предел

Доказательство:

++Стоит заметить, что если условие выполняется ряд может как сходиться, так и расходиться, если же оно не выполняется – то ряд расходится