37. Вычисление двойных и тройных интегралов в прямоугольных координатах.

Вычисление двойных интегралов в прямоугольных координатах

Если функция f(x;y) непрерывна в правильной области D, то двойной интеграл равен двукратному интегралу от этой же функции в области D: .

Сначала вычисляется внутренний интеграл, в котором x считается постоянным.

Вычисление тройных интегралов в прямоугольных координатах

Если функция f(x;y) непрерывна в некотором правильном теле V, то тройной интеграл равен трехкратному интегралу по тому же телу и вычисляется по формуле:

39 Билет. Основные понятия (определение, порядок, общее и частное решение и интеграл, задача Коши, теорема существования и единственности).

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы). Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным, если же переменных две или больше, то уравнение называется дифференц. уравнением в частных производных. Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Решением дифференц. уравнения называется такая функция y=φ(x), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференц. уравнения называется интегрированием уравнения. Общим решением уравнения y’=f(x,y) называется функция y= φ(x,С). Всякое решение y= φ(x,С₀), получающееся из общего при конкретном значении C=C₀ ,называется частным решением. Если зависимость x от y находится в неразрешенном относительно y виде, то его называют общим интегралом.

F(x,y,y’)=0 – общий вид дифференциального уравнения первого порядка или в разрешенном относительно y’ виде: y’=f(x,y) (1). Пусть требуется найти функцию y(x), являющуюся решением уравнения (1) и удовлетворяющую условию: y(x₀)=y₀ (2). Такая задача называется задачей Коши или начальной задачей, а условие (2) называется начальным условием. Теорема существования и единственности решения ( Теорема Пикара, Пеано, Коши): Если функция f(x;y) непрерывна в ограниченной области D, содержащей M₀(x₀;y₀) – начальную точку, т.е. |f(x;y)|≤M, M>0 и если частная производная по y в той же области D ограниченна, т.е. | |≤K, K>0, то существует единственное решение дифференц. уравнения (1), удовлетворяющее условию (2). Это решение будет непрерывно дифференцируемым в окрестности начальной точки. Геометрически это означает, что проходит единственная кривая через точку M₀(x₀;y₀), уравнение которой удовлетворяет дифференциальному уравнению.

40 Билет. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка

F(x,y,y’)=0 – общий вид дифференциального уравнения первого порядка или в разрешенном относительно y’ виде: y’=f(x,y).Решением дифференц. уравнения называется такая функция y=φ(x), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференц. уравнения называется интегрированием уравнения. Общим решением уравнения y’=f(x,y) называется функция y= φ(x,С). Всякое решение y= φ(x,С₀), получающееся из общего при конкретном значении C=C₀ ,называется частным решением.

Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение вида f₁(x)f₂(y)dx + f₃(x)f₄(y)dy = 0 называется уравнением с разделяющимися переменными. Делением на f₂(y)f₃(x) оно приводится к уравнению с разделенными переменными. Почленное интегрирование последнего приводит к соотношению, которое и дает решение исходного уравнения (в неявной форме).

Однородные уравнения

Уравнение вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 называется однородным, если P(x,y) и Q(x,y) – однородные функции одного измерения. Функция f(x,y) называется однородной степени (измерения) m, если f(λx, λy)= λ^mf(x,y). Однородное уравнение может быть приведено к виду y’=φ(y/x). С помощью подстановки y=tx это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными по отношению к новой неизвестной функции t. Уравнение вида y’= путем замены { приводится к однородному , если | |≠0. Если же определитель равен 0, то подстановка u = a₁x+b₁y разделяет переменные.