25 Дифференцирование сложных и неявных функции нескольких переменных.

Пусть дана функция двух переменных z = f(u;v) (1) непрерывная, имеющая непрерывные частные производные, а переменные u и v пусть зависят от двух новых независимых переменных х,у (2) которые также непрерывны и имеют непрерывные частные производные. Таким образом, функция z является сложной функцией двух переменных х и у, т.е. (3). Найти производные функции z по переменным х и у, не пользуясь соотношением (3), а принимая связи (1) и (2). Придадим аргументу х приращение Δ x, тогда функции (2) примут частные приращения , Так как переменные u и v получили приращения, то функция z (1) получит полное приращение , равное: Разделим полное приращение на и перейдем к пределу:

По определению частных производных и учитывая, что и бесконечно малые величины более высокого порядка, получим: (4) Аналогично находится частная производная по у: - это есть формулы частных производных от сложной функции. Предположим, что дана сложная функция 4-х переменных

где

Если подставить в функцию z, то она является сложной функцией одного аргумента х, т.е. z = F[x]. Тогда функция z(x) будет иметь полную производную по х. Продифференцируем ее по формуле (4)

или (5)

Получим формулу полной производной.

Дифференцирование неявных функции

1 Функция одного аргумента. Пусть дана некоторая непрерывная функция y = f(x) задана в неявной форме, то есть в виде уравнения F(x;y)=0 (уравнение 1). Требуется найти производную , используя уравнение (1) как функцию двух переменных. Теорема. Если у непрерывная функция от х задана неявно и существуют частные производные ,причем , тогда справедлива формула: (Ур 2)

Доказательство. Первый способ. Придавая аргументу х приращение используя определение частной производной и т.д. Второй способ. Представим уравнение (1) как сложную функцию двух переменных z = F(x;y) и y = y(x). Найдем ее полную производную . На самом деле функция z – тождественный ноль, поэтому ее полная производная равна нулю. . Откуда найдем

или Теорема доказана.

2 Функция многих переменных, заданной неявно. Пусть задана функция трех переменных F(x;y;z) причем х;у – независимые переменные, а функция z зависит от х;у и задана неявно. При дифференцировании по х, переменную у считаем постоянной, поэтому можно предполагать, что z –неявная функция относительно одного аргумента х; F(x,const,z)=0. Следовательно, к этому уравнению можно применить уравнение (2), где вместо у возьмем z, тогда аналогично, (Ур 3)

Обобщим формулу (3). Пусть функция u многих аргументов задана неявно F(x;y;z;..;t;u)=0, тогда частные производные определяются по формуле

Таким образом, частные производные функции нескольких переменных, заданных неявно, равны отношению частных производных по одной переменной к частной производной по переменной функции, взятой с обратным знаком.

36 . Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла. Двойные и тройные интегралы, их свойства.

Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла.

Двукратный

Область D называется правильной в направлении оси Oy, если прямая, параллельная оси Oy,пересекает область D не более, чем в двух точках. Определение правильной области в направлении оси Ox дается аналогично. Рассмотрим правильную область D, ограниченную сверху кривой y=φ₂(x), внизу кривой y=φ₁(x), а по бокам прямыми x=a, x=b. φ₁(x)<φ₂(x), a<b. Рассмотрим выражение

Такое выражение называется двукратным интегралом. Для вычисления его необходимо сначала вычислить внутренний интеграл по переменной y, считая x – const.

_- непрерывная. Тогда получим определенный интеграл .Обозначим двукратный интеграл

Трехкратный

Так же, как и для правильной области D опишем условия, которым должно удовлетворять правильное трехмерное тело V. 1) любая прямая, параллельная оси Oz, проведенную через внутреннюю точку тела V, пересекает поверхность S не более чем в двух точках, 2) все тело V проецируется на плоскость xOy в правильную двухмерную область D. Всякая часть тела V,отсеченная плоскостью, параллельной любой из координатных плоскостей xOy, xOz, yOz, также обладает этими же свойствами. Пусть дано правильное тело, ограниченное сверху гладкой поверхностью z=χ₂(x,y), а снизу поверхностью z= χ₁(x,y), причем это тело проецируется на плоскость xOy в виде правильной области D, которая задается уравнениями a≤x≤b; φ(x) ≤y≤ψ(x).

Предположим, что нижняя и верхняя поверхности тела гладкие, т.е функции непрерывны по обеим переменным x,y. Рассмотрим выражение (1) . Выражение (1) называется трехкратным интегралом и обозначается J_V.

Двойные интегралы, их свойства

Пусть функция z=f(x;y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости xOy. Разобьем D произвольным образом на n элементарных областей, имеющих площади , ,…, и диаметры d₁,d₂,…,d_n (наибольшее расстояние между двумя точками границы области называется диаметром области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку P_k(ξ_k,η_k) и умножим значение функции в точке P_k на площадь данной области.

Выражение называется интегральной суммой для функции f(x,y) по области D. Если при max d_k →0 интегральная сумма имеет конечный предел , то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x,y) в области D и обозначается ⁼ или ⁼ . Геометрический смысл двойного интеграла: если f(x,y)>0 в области D, то двойной интеграл численно равен объему цилиндрического тела с основанием D, ограниченному сверху поверхностью z=f(x,y). Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл существует. Основные свойства двойного интеграла:

1)

2)

3)

_D=D1+D2.

4) m≤f(x,y)≤M → mS≤ ≤MS.

Тройные интегралы, их свойства

Пусть функция f(x,y,z) определена в ограниченной замкнутой пространственной области T. Разобьем T произвольным образом на n элементарных областей T₁,T₂,…,T_n с диаметрами d₁, d₂,…,d_n и объемами ∆V1, ∆V2,… ∆Vn В каждой элементарной области возьмем произвольную точку P_k(x_k, y_k, z_k) и умножим значение функции в точке P_k на объем этой области: .

Выражение называется интегральной суммой для функции f(x;y;z) по области T.

Предел интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров элементарных областей называется тройным интегралом от функции f(x;y;z) по области T и обозначается:

Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов. Если f(x;y;z) есть функция распределения плотности вещества в области T, то тройной интеграл численно равен массе всего вещества в этой области (физический смысл тройного интеграла).