Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Shpora_po_mat_anu_polnaya.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
2.74 Mб
Скачать

1. Понятие функции. Способы задания, свойства, классификация функций.

Определение: если одному значению независимой переменной x соответствует одно (много) значений y, то y назыв однозначной (многозначной) функцией аргумента x и обозн y=f(x)

Определение: множество значений аргумента x, для которых функция существует, определена, назыв областью определения функции. D(f)

Определение: множество значений переменной y, соответствующих значений x из области определения, назыв областью значения ф-ции. E(f)

Для нахождения нулей функции нужно решить уравнение f (x) = 0, а для нахождения промежутков знакопостоянства нужно решить неравенства f (x) > 0 и f (x) < 0.

Если на некотором промежутке функция непрерывна и не имеет корней, то она сохраняет знак на этом промежутке.

Определение: ф-ция f(x) называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение ф-ции, т.е. для x1<x2: f(x1)<f(x2)

Определение: ф-ция f(x) назыв убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение ф-ции, т.е. для x1<x2: f(x1)>f(x2)

Определение: ф-ция f(x) называется чётной, если выполняется f(-x)= f(x)

Ф-ция назыв нечётной, если выполняется

f(-x)= -f(x)

Определение: ф-ция y=f(x) назыв. периодической с периодом Т, еси выполняется соотношение f(x+T)=f(x) основные элементарные ф-ции: y=xn, y=an, y=logax, y=sinx, y=arcsinx,…

Определение: если ф-ция задана звеньями элементарных ф-ций на определённых интервалах, назыв. сложной ф-цией.

Определние: ф-ция x=φ(y) назыв. обратной для ф-ции y=f(x), если первая ф-ция будучи подставлена во вторую, превращает её в тождество: y=f[φ(y)]

2. Числовые последовательности. Предел последовательности. Предел функции.

Определение: Числовой последовательностью назыв множество чисел, пронумерованных с помощью натуральных чисел и расположенных в порядке возрастания их номеров.

у1, у2, …, уn={yn}→yn=f(n), где у1, у2 –члены, yn=f(n) –общий член последов.

Определение: Число а назыв пределом последов, если >0, сколь угодно малого , что для всех n> N( ), выполняется , при этом

=a, (a-ε;a+ε) - окрестность

Геометрическая интерпретация

y=f(x) – ф-ция, х - аргумент ф-ции, х→а, f(x) →А, А предел ф-ции

Определение: числа А назыв. пределом ф-ции f(x) при х→а, если >0, сколь угодно малого, >0, что для всех x, для которых выполняется условие < , имеет место < =A

Замечание: 1) х→а как угодно; 2) f(x) в точке а может быть и не определена.

Определение: числа А назыв. пределом ф-ции f(x) при х→∞, если >0, сколь угодно малого, , что для всех x,|x|>N , выполняется. < =A

Теорема: Любая функция, имеющая предел, является ограниченной.

3. Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых.

Определение: Ф-ция f(x) назыв бесконечно малой, если её предел при х→а, равен 0

=0

или >0, >0. что

Свойства:

1) =А(f(x) - A) – б.м. при х→а. Следствие =А → f(x)=A+α, α -б.м.

2) α, β -б.м. → α + β= б.м.

3) α -б.м. , у- ограниченная, α *у – б.м. Следствие: -

α*β- б.м., где α и β -б.м.

- С* α -б.м, где α -б.м. С - const

4) α/y –б.м. где α-б.м. , lim y≠0

Определение: Ф-ция f(x) назыв бесконечно большой, если её предел при х→а, равен ∞

=∞

Теорема: (связь между б.м и б.б.)

у=f(x) – б.м. при х→а  1/f(x) – б.б. при х→а и наоборот.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]