
- •1. Понятие функции. Способы задания, свойства, классификация функций.
- •2. Числовые последовательности. Предел последовательности. Предел функции.
- •3. Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых.
- •4. Теоремы о пределах. Односторонние пределы.
- •5.Первый и второй замечательные пределы. П ервый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •6. Сравнение бесконечно малых. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых.
- •7. Непрерывность ф-ции. Точки разрыва. Их классификация.
- •8. Теоремы о непрерывных ф-ях.
- •9. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Связь дифференцируемости и непрерывности.
- •10. Основные правила дифференцирования.
- •13.Логарифмическое дифференцирование.
- •14 Производн. Ф-ий заданных неявно
- •15.Дифференциал функции
- •17.Правило Лопиталя
- •29.Методы интегрирования:метод разложения,метод замены переменной.
- •II. Метод замены переменной
- •31.Интегрирование рациональных дробей, некоторых иррациональных функций
- •33. Определенный интеграл и его свойства
- •6) Оценка определенного интеграла
- •7) Среднее значение ф-ции на отрезке
- •34. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям для определенного интеграла.
- •Вопрос 27 Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.
- •21 Функции нескольких переменных.
- •22 Частные приращения и частные производные. Частные производные высших порядков.
- •25 Дифференцирование сложных и неявных функции нескольких переменных.
- •36 . Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла. Двойные и тройные интегралы, их свойства.
- •37. Вычисление двойных и тройных интегралов в прямоугольных координатах.
- •39 Билет. Основные понятия (определение, порядок, общее и частное решение и интеграл, задача Коши, теорема существования и единственности).
- •40 Билет. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения.
- •41 Билет. Линейные уравнения первого порядка, уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах.
- •44 Лоу с постоянными коэффициентами.
- •45 Линейные неоднородные уравнения(лну), структура их общего решения. Метод вариации произвольных постоянных.
- •46 Лну с постоянными коэффициентами, метод подбора частного решения.
- •47 Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
- •48 Признаки сравнения.
- •49. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши.
- •Признак Лейбница
- •Оценка остатка ряда Лейбница
- •51. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •52. Функциональные ряды. Область сходимости.
- •54. Степенные ряды, теорема Абеля, интервал и радиус сходимости степенных рядов.
- •36. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла. Двойные и тройные интегралы, их свойства.
- •37. Вычисление двойных и тройных интегралов в прямоугольных координатах.
- •Замена переменных в кратном интеграле Пусть у нас задано биективное отображение , переводящее область в :
- •Выражение двойного интеграла через полярные координаты
- •Тройной интеграл
- •Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты
1. Понятие функции. Способы задания, свойства, классификация функций.
Определение: если одному значению независимой переменной x соответствует одно (много) значений y, то y назыв однозначной (многозначной) функцией аргумента x и обозн y=f(x)
Определение: множество значений аргумента x, для которых функция существует, определена, назыв областью определения функции. D(f)
Определение: множество значений переменной y, соответствующих значений x из области определения, назыв областью значения ф-ции. E(f)
Для нахождения нулей функции нужно решить уравнение f (x) = 0, а для нахождения промежутков знакопостоянства нужно решить неравенства f (x) > 0 и f (x) < 0.
Если на некотором промежутке функция непрерывна и не имеет корней, то она сохраняет знак на этом промежутке.
Определение: ф-ция f(x) называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение ф-ции, т.е. для x1<x2: f(x1)<f(x2)
Определение: ф-ция f(x) назыв убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение ф-ции, т.е. для x1<x2: f(x1)>f(x2)
Определение: ф-ция f(x) называется чётной, если выполняется f(-x)= f(x)
Ф-ция назыв нечётной, если выполняется
f(-x)= -f(x)
Определение: ф-ция y=f(x) назыв. периодической с периодом Т, еси выполняется соотношение f(x+T)=f(x) основные элементарные ф-ции: y=xn, y=an, y=logax, y=sinx, y=arcsinx,…
Определение: если ф-ция задана звеньями элементарных ф-ций на определённых интервалах, назыв. сложной ф-цией.
Определние: ф-ция x=φ(y) назыв. обратной для ф-ции y=f(x), если первая ф-ция будучи подставлена во вторую, превращает её в тождество: y=f[φ(y)]
2. Числовые последовательности. Предел последовательности. Предел функции.
Определение: Числовой последовательностью назыв множество чисел, пронумерованных с помощью натуральных чисел и расположенных в порядке возрастания их номеров.
у1, у2, …, уn={yn}→yn=f(n), где у1, у2 –члены, yn=f(n) –общий член последов.
Определение:
Число
а назыв пределом последов, если
>0,
сколь угодно малого
,
что для всех n>
N(
),
выполняется
,
при этом
=a,
(a-ε;a+ε)
- окрестность
Геометрическая интерпретация
y=f(x) – ф-ция, х - аргумент ф-ции, х→а, f(x) →А, А предел ф-ции
Определение:
числа
А назыв. пределом ф-ции f(x)
при х→а, если
>0,
сколь угодно малого,
>0,
что для всех x,
для которых выполняется условие
<
,
имеет место
<
=A
Замечание: 1) х→а как угодно; 2) f(x) в точке а может быть и не определена.
Определение:
числа А назыв. пределом ф-ции f(x)
при х→∞,
если
>0,
сколь угодно малого,
,
что для всех x,|x|>N
, выполняется.
<
=A
Теорема: Любая функция, имеющая предел, является ограниченной.
3. Бесконечно малые и бесконечно большие. Теоремы о бесконечно малых.
Определение: Ф-ция f(x) назыв бесконечно малой, если её предел при х→а, равен 0
=0
или
>0,
>0.
что
→
Свойства:
1) =А(f(x) - A) – б.м. при х→а. Следствие =А → f(x)=A+α, α -б.м.
2) α, β -б.м. → α + β= б.м.
3) α -б.м. , у- ограниченная, α *у – б.м. Следствие: -
α*β- б.м., где α и β -б.м.
- С* α -б.м, где α -б.м. С - const
4) α/y –б.м. где α-б.м. , lim y≠0
Определение: Ф-ция f(x) назыв бесконечно большой, если её предел при х→а, равен ∞
=∞
Теорема: (связь между б.м и б.б.)
у=f(x) – б.м. при х→а 1/f(x) – б.б. при х→а и наоборот.