Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
lektsiya_1-4.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
737.28 Кб
Скачать

2.2. Операції над множинами

1) Об'єднання (сума, диз'юнкція)

Х = А v В := {x | x  A v x  B }

«v» = «або» (див. мал. 2.2, а)

В

В

Рис. 2.2

2) Перетинання (добуток, кон’юнкція)

Х = А  В := {x | x  A & x  B}

«&» = «і» (див. мал. 2.2, б).

3) Різниця (див. мал. 2.2, в)

Х = А \ В := {x | x  A & x  B}.

4) Симетрична різниця (див. мал. 2.2, г)

Х = (А \ В)  (В \ А) = А Δ В := {x | x  A & x  B, x  В & x  А }.

5) Доповнення

.

Елементи всіх множин можна вважати елементами деякої універсальної множини U – універсума, що відіграє роль одиниці. Тоді різниця U \ A називається доповненням множини А и часто позначається (-А) або (¬А).

2.3.Властивості операцій над множинами

1) Ідемпотентність: А  А = А, А  А = А.

2) Комутативність: А  В = В  А, А  В = В  А.

3) Асоціативність: А  (В  С) = (А  В)  С,

А  (В  С) = (А  В)  С.

4) Дистрибутивність: А  (В  С) = (А  В)  (А  С),

А  (В  С) = (А  В)  (А  С).

5) Поглинання: (А  В)  А = А, (А  В)  А = А.

6) Властивості нуля: А   = , А   = А.

7) Властивості одиниці: А  U = A, А  U = U.

8) Інволютивність: .

9) Закони де Моргана: , .

10) .

11) .

12) Рефлексивність: А  А.

13) Транзитивність: якщо А  В и В  С, те А  С.

Алгебраїчна операція визначена на А, якщо можна вказати закон, по якому будь-якій парі (a, b) з АхА ставиться у відповідність третій елемент, що належить цій же множині.

c = a + b – додавання, с = ab – множення, c = ab – у загальному випадку.

Основні властивості операцій: комутативність і асоціативність.

Операція - це завжди відношення, але не навпаки.

Множина К називається кільцем, якщо в ньому визначені операції додавання й множення, обидві асоціативні й дистрибутивні, причому додавання комутативно й має зворотну операцію.

Множина К називається лінійним або векторним простором, якщо для елементів (векторів) з К визначені операції додавання й множення на число Р и виконуються аксіоми:

1) Кожній парі векторів (х, у) відповідає вектор (х + у) і називається сумою, причому х + у = у + х (комутативність) і х + (у+ z) = (х + у) + z (асоціативність).

Існує єдиний нульовий вектор О такий, що х + О = х, х.

Існує вектор (-х) такий, що х + (-х) = О.

2) Кожній парі (, х), де  - число, а х - вектор, відповідає вектор х, причому:

 ( х) = ( ) х, 1х = х.

3) (х + у) = х + у, ( + )х = х + х.

2.4. Алгебри

Множини й функції на них - це два типи об'єктів, на яких в остаточному підсумку будується будь-яка математична теорія.

Якщо аргументи функції f пробігають множина М и вона приймає значення з тієї ж множини, то f – це алгебраїчна операція на М.

Отже, алгебра – це множина М разом з набором операцій на ньому. Позначається алгебра як двійка (М, ), де :={1, 2, …, n} – набір (множина) операцій, сигнатура алгебри, а М – носій алгебри.

Групою називається множина, якщо:

1) виконується умова наявності однієї асоціативної операції;

2) у групі є елемент «е», що задовольняє умові a.e = e.a = a, він називається «одиницею»;

3) для кожного елемента а існує єдиний елемент (а-1) такий, що

a.a-1 = e, (a-1).a = e.

Якщо, крім того, для a, b G має місце комутативність a.b = b.a, те група називається комутативної або абелевою.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]