
- •1. Системи й задачі їхнього аналізу
- •1.1. Властивості систем
- •1.2. Кількість інформації
- •1.3. Класифікація систем
- •2. Елементи теорії множин
- •2.1. Основні поняття й терміни
- •2.2. Операції над множинами
- •2.3.Властивості операцій над множинами
- •2.4. Алгебри
- •3. Елементи теорії графів
- •4. Моделі систем
- •4.1. Цілі моделювання систем
- •4.2. Рівні моделювання
- •4.2.1. Класифікація рівнів моделювання
- •4.2.2. Задачі аналізу властивостей систем, розв'язувані на концептуальному рівні
- •4.2.3. Задачі, розв'язувані на топологічному рівні
- •I. Визначення структурних властивостей системи
- •II. Визначення еквівалентних передач
- •III. Виділення підсистем у системі
- •4.2.4. Моделі структурного рівня
- •4.2.5. Моделі параметричного рівня
- •4.3. Класифікація моделей систем
- •4.4. Моделі систем типу Мс
- •4.5. Моделі вимог типу мт
- •5. Сучасна методологія наукових досліджень і методи системного аналізу
- •5.1. Основні поняття
- •5.2. Методологія системного аналізу
- •5.3. Загальна схема прийняття рішень
- •5.4. Основні етапи прийняття рішень
- •5.5. Аналітичні методи системного аналізу
2.2. Операції над множинами
1) Об'єднання (сума, диз'юнкція)
Х = А v В := {x | x A v x B }
«v» = «або» (див. мал.
2.2, а)
В
В
Рис. 2.2
2) Перетинання (добуток, кон’юнкція)
Х = А В := {x | x A & x B}
«&» = «і» (див. мал. 2.2, б).
3) Різниця (див. мал. 2.2, в)
Х = А \ В := {x | x A & x B}.
4) Симетрична різниця (див. мал. 2.2, г)
Х = (А \ В) (В \ А) = А Δ В := {x | x A & x B, x В & x А }.
5) Доповнення
.
Елементи всіх множин можна вважати елементами деякої універсальної множини U – універсума, що відіграє роль одиниці. Тоді різниця U \ A називається доповненням множини А и часто позначається (-А) або (¬А).
2.3.Властивості операцій над множинами
1) Ідемпотентність: А А = А, А А = А.
2) Комутативність: А В = В А, А В = В А.
3) Асоціативність: А (В С) = (А В) С,
А (В С) = (А В) С.
4) Дистрибутивність: А (В С) = (А В) (А С),
А (В С) = (А В) (А С).
5) Поглинання: (А В) А = А, (А В) А = А.
6) Властивості нуля: А = , А = А.
7) Властивості одиниці: А U = A, А U = U.
8)
Інволютивність:
.
9)
Закони де Моргана:
,
.
10)
.
11)
.
12) Рефлексивність: А А.
13) Транзитивність: якщо А В и В С, те А С.
Алгебраїчна операція визначена на А, якщо можна вказати закон, по якому будь-якій парі (a, b) з АхА ставиться у відповідність третій елемент, що належить цій же множині.
c = a + b – додавання, с = ab – множення, c = ab – у загальному випадку.
Основні властивості операцій: комутативність і асоціативність.
Операція - це завжди відношення, але не навпаки.
Множина К називається кільцем, якщо в ньому визначені операції додавання й множення, обидві асоціативні й дистрибутивні, причому додавання комутативно й має зворотну операцію.
Множина К називається лінійним або векторним простором, якщо для елементів (векторів) з К визначені операції додавання й множення на число Р и виконуються аксіоми:
1) Кожній парі векторів (х, у) відповідає вектор (х + у) і називається сумою, причому х + у = у + х (комутативність) і х + (у+ z) = (х + у) + z (асоціативність).
Існує єдиний нульовий вектор О такий, що х + О = х, х.
Існує вектор (-х) такий, що х + (-х) = О.
2) Кожній парі (, х), де - число, а х - вектор, відповідає вектор х, причому:
( х) = ( ) х, 1х = х.
3) (х + у) = х + у, ( + )х = х + х.
2.4. Алгебри
Множини й функції на них - це два типи об'єктів, на яких в остаточному підсумку будується будь-яка математична теорія.
Якщо аргументи функції f пробігають множина М и вона приймає значення з тієї ж множини, то f – це алгебраїчна операція на М.
Отже, алгебра – це множина М разом з набором операцій на ньому. Позначається алгебра як двійка (М, ), де :={1, 2, …, n} – набір (множина) операцій, сигнатура алгебри, а М – носій алгебри.
Групою називається множина, якщо:
1) виконується умова наявності однієї асоціативної операції;
2) у групі є елемент «е», що задовольняє умові a.e = e.a = a, він називається «одиницею»;
3) для кожного елемента а існує єдиний елемент (а-1) такий, що
a.a-1 = e, (a-1).a = e.
Якщо, крім того, для a, b G має місце комутативність a.b = b.a, те група називається комутативної або абелевою.