Формирование реализации случайных потоков однородных событий

Рассмотрение способов формирования потоков заявок нач­нем с простого случая, когда имеется поток однородных со­бытий.

Будем считать, что при любом k>1 задан совместный за­кон распределения f(z1,z2,…,zk) случайных величин являющихся интервалами времени между последова­тельными моментами появления заявок (5.1). Для того чтобы получить реализацию потока однородных событий t1,t2,…tk , необходимо сформировать реализацию z1,z2,…,zk k-мерного случайного вектора и вычислить значения ti в со­ответствии с (5.1). Способы формирования случайных векторов рассмотрены выше. Как известно, для больших k эта операция оказывается весьма громоздкой. Это обстоятельство существен­но ограничивает использование потоков однородных событий общего вида при решении задач теории массового обслужи­вания.

Процедура формирования реализации потоков однородных событий значительно упрощается для случая стационарных по­токов с ограниченным последействием.

Пусть стационарный ординарный поток с ограниченным по­следействием задан функцией плотности f(z) (5.4). В соответ­ствии с (5.8) найдем функцию плотности f1(z1) для первого ин­тервала z1. Теперь можно сформировать случайное число z1, соответствующее функции плотности f1(z1) , и получить момент появления первой заявки t1 = z1 . Далее формируем ряд случай­ных чисел, соответствующих функции плотности f(z), и при по­мощи соотношения (5.1) вычисляем значения величин t1,t2,…tk . Ниже описанная процедура иллюстрируется рядом при­меров.

В дальнейшем будем считать, что в нашем распоряжении имеются случайные числа xi с равномерным распределением в интервале (0,1). Как известно, для того, чтобы получить слу­чайные числа yi с функцией плотности f(y), необходимо разре­шить относительно yi уравнение

(5.41)

Соотношением (5.41) мы будем пользоваться, наряду с дру­гими способами, при формировании потоков однородных со­бытий.

Рассмотрим приемы формирования реализации простейшего потока. Как было указано в предыдущем параграфе, функция плотности интервала между вызовами при j>1 для простей­шего потока имеет вид)

(5.12)

В силу (5.13) такое же выражение сохраняется и для функ­ции плотности f1(z1) первого интервала . Поэтому построение реализации простейшего потока однородных событий может быть, в частности, сведено к формированию последовательности независимых случайных чисел, имеющих показательное распре­деление (5.12).

Для этой цели можно воспользоваться соотношением (5.41)

или

Разрешая это уравнение относительно zi, получим

(5.42)

или, в силу того, что Xi распределены равномерно на (0,1),

Далее, для получения последовательности моментов появле­ния вызовов t1,t2,…tk,… воспользуемся (5.1

Заметим, что для вычисления значений zi в соответствии с (5.43) требуется выполнить сравнительно много операций.

Это объясняется тем обстоятельством, что вычисление лога­рифмов на универсальных цифровых машинах связано с исполь­зованием стандартных программ, основанных на разложениях в степенные ряды. Поэтому для формирования последователь­ности случайных чисел с показательным законом распределе­ния часто используются приближенные методы.

Например, для малых значений (практически при < 0,5) оказывается удобным следующий приближенный прием, идея которого основана на моделировании условий соответствующей предельной теоремы.

Используемые в данной задаче единицы времени (например, минуты) будем нумеровать числами 1, 2, ..., m, ... Разобьем каждую единицу времени на равные части длины , где 0< < < 1 и — целое число. Внутри каждой единицы времени введем нумерацию полученных интервалов: 1,2, ... ..., i, ..., . Затем используем следующую процедуру слу­чайных испытаний. Из совокупности случайных чисел с равно­мерным распределением в интервале (0,1) выбираем случайное число xi и проверяем справедливость неравенства

Xi <= . (5.44)

Если неравенство (5.44) выполнено, считаем, что заявка по­ступила в момент времени

(5.45)

Если неравенство (5.44) не выполнено, то считаем, что за­явка не поступила, и переходим к очередному случайному числу Xi+1

Начиная с нулевого момента времени (m = 1; i=1), про­веряем при помощи описанных выше испытаний, поступает ли заявка в течение первого интервала длины первой единицы времени. Если неравенство (5.44) выполнено, то момент посту­пления первой заявки

Если неравенство (5.44) не выполнено, то переходим ко вто­рому интервалу длины т первой единицы времени (m=l, i=2) и т. д., пока не будут исчерпаны все интервалы первой единицы времени. Тогда переходим ко второй единице времени (т= 2, i= 1) и т. д.

Для более точного соответствия закона распределения фор­мируемого таким образом потока закону распределения Пуас­сона необходимо уменьшать . Препятствием этому служит уве­личение объема вычислений, которое при очень малых (практически < 0,005) делает процедуру не менее громоздкой, чем расчет zi в соответствии с (5.43).

При решении задач, связанных с массовым использованием реализации простейшего потока, практически наиболее прием­лемым способом формирования реализации оказывается способ, основанный на кусочной аппроксимации f(z).

Для потока с равномерным распределением интервалов вре­мени между заявками функция плотности f(z) для интервалов при j>1 имеет вид (5.6)

f(z)=1/b

а функция плотности fi (21) первого интервала ^ имеет вид

где

Процедура формирования реализации этого потока сводится к следующему.

Для получения значений первого интервала г\ воспользуем­ся соотношением (5.41)

При равномерном распределении в интервале (0,1) величины x и 1- x распределены одинаково, поэтому

где хi, — случайные числа с равномерным распределением в ин­тервале (0,1).