1.3 Частотное уравнение и собственные формы колебаний балки
Развернутая
запись граничных условий приводит к
однородным уравнениям относительно
постоянных
,
,
,
.
Чтобы эти постоянные не равнялись нулю, должен равняться нулю определитель, составленный их коэффициентов системы; это приводит к частотному уравнению. При этих операциях выясняются соотношения между , , , , т.е. определяются собственные формы колебаний (с точностью до постоянного множителя).
Рассмотрим составление частотного уравнения для балки с шарнирно – опертыми концами, для которой согласно (20) имеем следующие граничные условия:
,
при
и
.
При помощи (1.15) – (1.20) получим из первых двух условий:
.
Два оставшихся условия можно записать в виде:
Чтобы
и
не были равны нулю, необходимо равенство
нулю определителя:
.
Таким образом, частотное уравнение имеет вид:
.
Подставляя выражения T и U, получим:
.
Так
как
,
то окончательное частотное уравнение
записывается так:
|
(1.24) |
.
Корни этого уравнения равны:
,
.
Учитывая (1.14), получим:
|
(1.25) |
.
Перейдем
к определению собственных форм. Из
записанных выше однородных уравнений
вытекает следующее соотношение между
постоянными
и
:
.
Следовательно, (1.15) приобретает вид:
,
или
.
Согласно (1.22), имеем:
|
(1.26) |
,
где
–
новая постоянная, значение которой
остается неопределенным, пока не введены
в рассмотрение начальные условия.
1.4 Влияние постоянной продольной силы в изгибных колебаниях балки
Рассмотрим случай, когда колеблющаяся балка испытывает действие продольной силы N, величина которой не меняется в процессе колебаний. В этом случае уравнение статистического изгиба усложняется и приобретает вид (при условии, что сжимающая сила считается положительной):
.
Полагая
и считая жесткость постоянной, получаем
уравнение свободных колебаний:
|
(1.27) |
.
Принимаем по-прежнему частное решение в виде :
.
Тогда уравнение (1.27) распадается на два уравнения:
,
.
Первое уравнение выражает колебательный характер решения, второе определяет форму колебаний, а также позволяет найти частоты. Перепишем его таким образом:
|
(1.28) |
,
где
K
определяется
формулой (1.13), а коэффициент
равен:
|
(1.29) |
.
Решение уравнения (1.28) имеет вид:
|
(1.30) |
,
где
;
.
Рассмотрим краевые условия
|
(1.31) |
которые означают свободные опоры обоих концов балки.
Подставим решение (1.30) уравнения (1.28) в краевые условия (1.31).
Имеем:
;
;
;
.
Найдем
производные от
:
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим
случай, когда оба конца стержня имеют
шарнирные опоры. Условия на левом конце
(
)
дают
.
Удовлетворяя те же условия на правом
конце, получим:
Приравнивая
нулю определитель, составленный из
коэффициентов при величинах
и
,
приходим к уравнению:
,
или
|
(1.32) |
.
Корни этого частотного уравнения
,
.
Следовательно, собственная частота определяется из уравнения
.
Отсюда, при учете (1.32), находим
|
(1.33) |
.
Решение прямой задачи рассмотрим на конкретном примере.
Пример 1. Определить собственные частоты колебаний колебании балки под действием постоянной продольной силой, если известны следующие физические параметры:
Решение.
Здесь J – момент инерции поперечного сечения балки, E – модуль Юнга для круглой балки.
Подставляя заданные физические параметры в формулу (1.33) получим частоты колебания балки под действием продольной силы:
:
;
:
;
:
;
:
и т.д.