Условный экстремум функции многих переменных.

Будем говорить, что функция в точке имеет условный максимум (минимум) при связях , если найдется некоторая проколотая окрестность точки в пространстве такая, что для всех точек из этой окрестности, удовлетворяющих условиям связи , выполняется следующее соотношение:

Предположим даже, что все функции дифференцируемы в некоорой окрестсности уловного экстремума , частные производные этих функций по всем переменным непрерывны в этой окрестности и кроме того в точке отличен от нуля Якобеан вида

Тогда по теореме о неявном отображении, система уравнений связи определяет неявное отображение или, что то же самое, функций:

Эти функции определены в неокторой окрестности точки и дифференцируемы в этой точке; если мы подставим вместо функцию , получим, что сложная функция

переменных в точке имет обычный (безусловный) эксремум.

Далее будем предполагать, что функция непрерывно дифференцируема в окресности точки , тогда и функция буде непрерывна в некоторой окрестности точки .

Необходимым условием безусловного эксремума в точке функции является равенство нулю её дифференциала в этой точке.

В этом равенстве дифференциалы независимых переменных могут принимать произвольные значения, поэтому это равенство является тождественным относительно дифференциалов .

С другой стороны, в силу инвариантности формы первого дифференциала, это же неравенство можно переписать в другом виде:

Но последнее равенство нельзя считать тождеством относительно дифференциалов по скольку это не дифференциалы независимых переменных, а дифференциалы функций

Предположим, что функции мы подставили в уравнения связи, тогда уравнения связи обратятся в тождество. Получим штук тождеств .

Если мы возьмём дифференциалы от обеих частей каждого из этих тожденств в точке то относительно дифференциалов получим систему линейных уранвений

– неизвестные, необходимо выразить через

Определитель этой системы ни что иное, как Якобеан

Поэтому линейная система имеет единственное решение, то есть дифференциалы из этой системы могут быть единственным образом выражены как линейные функции от дифференциалов . Эти выражения надо подставить в равенство , записанное вторым способом. Тогда получим равенство вида

Которое уже следует рассматривать в точке , как тождество относительно

Получаем штук уравнений, но ещё штук уравнений – уравнения связи: .

Таким образом, относительно координат точки мы получим уравнений. Если полученная система имеет решения, то решая её мы находим точку , подозрительную на условный экстремум (выполнены необходимые условия).

Метод неопределенных множителей Лагранжа.

При этом предполагаем, что в некоторой точке выполнены необходимые условия экстремума, и непрерывно дифференцируемы в точке , при этом

Возьмём дифференциал в точке от каждого из уравнений связи

Кроме того, ранее мы установили, что необходимым условием локального экстремума является равенство

Умножим каждое из равенств (1) на произвольное число и сложим все полученные равенства (и просуммируем все равенства по )

Получим

Теперь сложим равенства (2) и (3)

В правой части равенства (4) перегруппируем слогаемые, меняя при этом в етьей сумме порядок суммирования.

Введем в рассмотрение функцию

- функция Лагранжа для рассморения задачи об условном экстремуме.

Равенство (5) можно переписать в виде

Подберем многочлены таким образом, чобы выплнялись условия

Это заведомо можно сделать, так как эти равенства приводят к линейной системе (7) относительно

Система из уравнений с неизвестными . Определитель системы это

В итоге получаем уравнений относительно координат точки и множеелей .

Полученная система уравнений фактически означает, что мы имеем стационарные точки функции Лагранжа которая зависит от переменных.