Геометрический смысл частных производных и дифференциалов функции.

Пусть дифференцируема в точке

Будем говорить, что график функций представляет собой некоторую поверхность. . Положим , тогда

– плоскость, проходящая через точку и параллельная плокости .

В пространстве при этом получаем кривую и проекция этой кривой на будет представлять собой график функции одной переменной

Аналогично при фиксированном рассматривается .

Расссмотрим уравнение

– плосокость;

если , где вместо аппликаты точки плоскости поставлена аппликата , то такая плоскость называется касательной к графику функций в точке

Касательной плосостью к графику функции в точке называется акая плоскость, для которой разность аппликаты её точки и значение функции является бесконечно малая более выского порядка, чем , при стремящемся к нулю:

Заметим, что в правой части уравнения стоит дифференциал функции вычисленный в точке , отсюда и вытекает геометричекий смысл дифференциала: дифференциал функции в точке равен приращению аппликаты точки касательной плоскости к графику функции.

Дифференцирование сложной функции.

Теорема: пусть функций где , определены в некоторой окрестности точки на числовой прямой и дифференцируемы в этой точке, пусть , где (мы задали отображение ). Пусть функция определена в окрестности точки , дифференцируема в точке , тогда сложная функция одной переменной дифференцируема в точке и имеет место равенство:

Доказательство: пусть дифференцируема в точке

Будем рассматривать как приращение функции в окрестности точки , так как каждая дифференцируема в точке по условию, то по определению:

Получим

Дифференцируемость фунеции в точке одной переменной:

Так как по условию , - ограниченная функция при стремящемся к 0.

Но при этом

в силу дифференцируемости, а значит непрерывности каждой из функций в точке . Поэтому по теореме о пределе сложной функции . Отсюда следует, что , а значит в предсавлении приращения первое слагаемое предсавляет собой дифференциал функции одной переменной , а значит коэффициент при предтавляет собой производную . Таким образом доказана и дифференцируемость сложной функции одной переменной в точке и формула вычисляения её производной.

Замечание: в окончательной формуле присутствуют лишь частные произвоные функции в точке и производные функций , но для функции одной переменной дифференцируемость и существование конечных производных в точке равносильны, а для функции многих переменных сущечствование частных производных в точке ещё не означает её дифференцируемость в точке, так что из внешнего вида формулы непонятно, зачем нужна дифференцируемость функции в точке , которая существенно нами использовалась при доказательстве.

Следствие: пусть функция задана в окружности точки , дифференцируема в точке ; пусть в окресности точки заданы функции которые имеют частные производные по всем переменным в точке и удовлетворяют условию: тогда для частных производных сложной функции в точке имеет место равенство