29 Несобственные интегралы 29)Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

 Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

 Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].



Бесконечные пределы интегрирования

Пусть f (x) является непрерывной функцией в интервале [a, ∞). Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом:

Рассмотрим также случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (−∞, b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как

Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся.  В противном случае интегралы расходятся.  Пусть f (x) является непрерывной функцией на множестве действительных чисел. Тогда справедливо соотношение

Если для некоторого действительного числа c оба интеграла в правой части сходятся, то говорят, что интеграл   также сходится; в противном случае он расходится. 

Теоремы сравнения

Пусть f (x) и g (x) является непрерывными функциями в интервале [a, ∞). Предположим, что  для всех x в интервале [a, ∞).

1. Если   сходится, то   также сходится;

2. Если   расходится, то   также расходится;

3. Если   сходится, то   также сходится. В этом случае говорят, что интеграл   является абсолютно сходящимся.

4.

Интеграл от разрывной функции

Пусть функция f (x) непрерывна в интервале [a,b), но имеет разрыв в точке x = b. В этом случаенесобственный интеграл определяется в виде

Аналогично можно рассмотреть случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (a,b], но имеет разрыв при x = a. Тогда

Если приведенные выше пределы существуют и конечны, то говорят, что соответствующие несобственные интегралы сходятся. В противном случае они считаются расходящимися.  Пусть f (x) непрерывна для всех действительных x в интервале [a,b], за исключением некоторой точки  . Тогда справедливо соотношение

и говорят, что несобственный интеграл   сходится, если оба интеграла в правой части верхнего равенства сходятся. В противном случае несобственный интеграл расходится. 

30 Частные производные высших порядков 30) Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют)   и  , которые называются такжечастными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная   обозначается через   или  , а   через   или  . Таким образом,

, 

и, аналогично,

,  .

Производные   и   называются частными производными второго порядка. Определение:Частной производной второго порядка от функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные 3 порядка:  ,  ,   и т. д.