24 Ряд Тейлора. Пример 24)

Задание. Разложить в ряд Тейлора функцию   в точке  . Решение. Найдем производные: Итак,  ,  ,  . Значение функции в точке Таким образом, Ответ.

25 Ряд Маклорена. Пример. 25)

Пример 1

Найти ряд Маклорена для функции  . Решение. Воспользуемся тригонометрическим равенством  .  Поскольку ряд Маклорена для cos x имеет вид  , то можно записать        Отсюда следует:

26 Формула Ньютона-Лейбница. Привести пример 26) Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).

Если после изучения данного теоретического материала (Формула Ньютона-Лейбница) у Вас возникли проблемы при решении задач на данную тему или появились вопросы образовательного характера, то Вы всегда можете задать их на нашем форуме.

27 Дифференциальные уравнения высших порядков. 27) Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид или, если оно разрешено относительно ,

(1)

Задача нахождения решения   уравнения (I), удовлетворяющего начальным условиям

(2)

называется задачей Коши для уравнения (1).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если в уравнении (1) функция 

а) непрерывна по всем своим аргументам   в некоторой области   их изменения,

б) имеет ограниченные в области   частные производные   по аргументам  , то найдется интервал  , на котором существует единственное решение   уравнения (1), удовлетворяющее условиям

где значения   содержатся в области  .

Для уравнения второго порядка   начальные условия имеют вид

где   — данные числа. В этом случае теорема существования и единственности геометрически означает, что через данную точку   плоскости   с данным тангенсом угла наклона касательной   проходит единственная кривая.

Рассмотрим, например, уравнение   и начальные условия

В данном случае  . Эта функция определена и непрерывна при всех значениях  . Ее частные производные по   и   равны соответственно

и являются всюду непрерывными и ограниченными функциями своих аргументов. Следовательно, каковы бы ни были начальные условия

существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее этим условиям.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка (1) называется множество всех его решений, определяемое формулой  , содержащей   произвольных постоянных   таких, что если заданы начальные условия (2), то найдутся такие значения  , что   будет являться решением уравнения (1), удовлетворяющим этим начальным условиям.

Любое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных   называетсячастным решением дифференциального уравнения (1).

Уравнение вида  , которое определяет неявно общее решение дифференциального уравнения, называетсяобщим интегралом уравнения. Давая постоянным  , конкретные допустимые числовые значения, получим частный интеграл дифференциального уравнения. График частного решения или частного интеграла называется интегральной кривой данного дифференциального уравнения.

28 Признаки сходимости положительных рядов 28) Определение 1.   На последовательности   построим частичные суммы  . Cимвол  , обозначающий предел частичных сумм (  ), называется рядом, где   -- общий член ряда. Ряд называется знакоположительным, если все  .

Замечание 1.   В матанализе доказывается, что знаконеотрицательный ряд сходится   частичные суммы ограничены. Доказательство следует из теоремы Вейерштрасса о том, что ограниченная монотонная последовательность имеет предел.

Лемма 1.   Если  , то из сходимости   следует сходимость  , а из расходимости   следует расходимость  .

Доказательство. Рассмотрим частичные суммы рядов (обозначим их   и  ). Если   сходится, то постедовательность   ограничена, а раз  , то   тоже ограничена, т.е.   также cходится. Из этого же неравенства следует утверждение о расходимости. 

Лемма 2.   Пусть существует предел

 Если  , то сходимость   равносильна сходимости  ;   Если  , то из сходимости   следует сходимость  ;   Если  , то из сходимости   следует сходимость  .

Доказательство.    . Тогда из существования предела следует, что, начиная с какого-то индекса . Но тогда из сходимости (расходимости) ряда   следует сходимость (расходимость)   (по предыдущей лемме). Ясно, что это верно и в обратную сторону верно, т.к. в этом случае  .

  , значит, начиная с какого-то индекса,  , остальное по первому признаку.

   -- случай, аналогичный  . 

Лемма 3.   Если  , то из сходимости   следует сходимость  .

Доказательство. Составим произведения:   и  . Они равны после сокращения соответственно   и  . По условию леммы выполнено  . Тогда   и утверждение леммы следует из леммы  . 

Теорема 1. (признак Даламбера)   Пусть  . Если  , то ряд сходится,   -- расходится. Если  , то ничего сказать нельзя.

Доказательство. Пусть  . Из существования предела следует, что начиная с некоторого номера выполнено  . Положим  (геометрическая прогрессия) и воспользуемся леммой   для доказательства сходимости. Если  , то из   следует, что общий член ряда не стремится к нулю, что доказывает расходимость. При   ничего сказать нельзя, например,   (cходится при  ). 

Теорема 2. (признак Коши)   Пусть  . Если  ,   сходится. Если  , то расходится.

Доказательство. Пусть  . Найдется  . Тогда, начиная с некоторого индекса,  , остальное сделает за нас лемма 1. В случае   имеем с некоторого индекса  . Тогда ряд расходится по необходимому признаку сходимости (общий член стремится к нулю). 

Теорема 3. (интегральный признак)   Пусть существует положительная монотонно убывающая непрерывная на   функция такая, что  . Тогда сходимость   равносильна сходимости   (существованию предела  ).

Доказательство. Для любого   выполнено   (зажат между прямоугольниками сверху и снизу). Тогда из сходимости ряда следует ограниченность  , а значит и сходимость интеграла (  ). Обратно, из сходимости интеграла следует ограниченность его (  ), а значит и ограниченность   (  ), что равносильно сходимости ряда.