20 Дать определение степенного ряда

20) Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов.

Определение 1.1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида  .(1.1)

Здесь   – постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; а– некоторое постоянное число, х – переменная, принимающая значения из множества действительных чисел.

При   степенной ряд (1.1) принимает вид

. (1.2)

Степенной ряд (1.1) называют рядом по степеням разности  , ряд (1.2) – рядом по степеням х.

Если переменной х придать какое-либо значение, то степенной ряд (1.1) (или (1.2)) превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться.

Определение 1.2. Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.

Ряд (1.1) с помощью подстановки   приводится к более простому виду (1.2), поэтому вначале будем рассматривать степенные ряды вида (1.2).

Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема.

21 Дать определение функциональной последовательности и функционального ряда 21) — n-ная частичная сумма.

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность   его частичных сумм сходится поточечно.

Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность   его частичных сумм сходится равномерно.

Необходимое условие равномерной сходимости[

 при 

Или, что эквивалентно   , где Х - область сходимости.

Критерий Коши равномерной сходимости

Критерий Коши для функциональной последовательности. Чтобы последовательность функций  , определённых на множестве  , равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого  , начиная с некоторого номера  , при всех  , больше либо равных  , одновременно для всех   значения функций   и   различались не более, чем на  .

ную роль играет следующая теорема.

22 Дать определение знакочередующегося ряда 22) Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. Е.:

Признак Лейбница[править | править исходный текст]

Основная статья: Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть для знакочередующегося ряда выполняются следующие условия: 1.  (монотонное убывание {an}) 2. . Тогда этот ряд сходится.

23 Определенный интеграл, свойства 23)

I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.  , где х, t – любые буквы. II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю. III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный. IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам. V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.