9 Сформулировать теоремы о действиях над сходящимися рядами

10 Исследовать на сходимость ряд в зависимости от величины .

11 Дать определение абсолютной сходимости ряда.

12 Записать формулу для сведения двойного интеграла к повторному. 12) Опишем части данного выражения. f(x1; x2) — это подынтегральная функция, f(x1; x2)dx1dx2 — это подынтегральное выражение, М — область определения подынтегральной функции. Помним, что определённый интеграл (а в данном случае двойной интеграл определённый) это интеграл Римана, число, а также численная мера площади или объёма (в случае двойного интеграла — объёма). Важное замечание заключается в том, что значение двойного интеграла равно объёму цилиндроида только в том случае, когда подынтегральная функция принимает неотрицательные значения на ограниченном множестве М.

Сформулировав теорему о двойном интеграле, мы описали достаточное условие его существования. Напомним: Если множество М ограничено и имеет двумерную меру (то есть площадь), а данная функция двух переменных непрерывна на множестве М, то интеграл Римана существует. Возникает следующий вопрос: как вычислять значение двойного интеграла?Благодаря формуле Ньютона-Лейбница, мы достаточно шустро умеем искать определённый интеграл функции одной переменной:

13 Дать определение числового ряда, частичной суммы ряда, суммы ряда. 13)Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится[1]. Элементы ряда a_n представляют собой комплексные числа (в частности, вещественные).

14 Дать определение геометрического ряда и провести исследование геометрического ряда на сходимость в зависимости от величины знаменателя. 14) Начнем с определений знакоположительного, знакопеременного ряда и понятия сходимости. Далее рассмотрим стандартные ряды, такие как гармонический ряд, обобщенно гармонический ряд, вспомним формулу для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. После этого перейдем к свойствам сходящихся рядов, остановимся на необходимом условии сходимости ряда и озвучим достаточные признаки сходимости ряда. Теорию будем разбавлять решением характерных примеров с подробными пояснениями.

15 Доказать необходимый признак сходимости ряда 15)Если ряд сходится, то un=0.

Доказательство. Пусть ряд u1+u2+…+un… сходится, то есть существует конечный предел =S. Тогда имеет место также равенство =S, так как при n и (n-1). Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем - = =un=0, что и требовалось доказать.

Следствие. Если un≠0, то ряд u1+u2+…+un… расходится.

Пример.

Ряд расходится, так как

un=.

Подчеркнём, что рассмотренный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что un=0 не следует, что ряд сходится.

Позже докажем, что так называемый гармонический ряд 16 Сформулировать радикальный и интегральный признаки Коши. 16)Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел: , то:

а) При ряд сходится. В частности, ряд сходится при .

б) При ряд расходится. В частности, ряд расходится при .

в) При признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера нам тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком. Когда нужно использовать радикальный признак Коши? Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени, зависящей от «эн». Либо когда корень «хорошо» извлекается из общего члена ряда. Есть еще экзотические случаи, но ими голову забивать не будем.