Теоретические вопросы

1. Неопределенный интеграл и его свойства 1) Функция, первая производная (first derivative) которой равна данной функции. Если g(x) является производной от f(x), то f(x)+k (где k – произвольно выбранная константа) является неопределенным интегралом от g(x). Это записывается так: ſ g(x)dx =f(x)+k.

2. Экстремум функции (для двух переменных) 2) Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной.

Пусть функция z = ƒ(х;у) определена в некоторой области D, точка N(x0;y0) Î D.

Точка (х0;у0) называется точкой максимума функции z=ƒ(х;у), если существует такая d-окрестность точки (х0;у0), что для каждой точки (х;у), отличной от (хо;уо), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо). Пусть функция z = ƒ(х;у) определена в некоторой области D, точка N(x0;y0) Î D. Точка (х0;у0) называется точкой максимума функции z=ƒ(х;у), если существует такая d-окрестность точки (х0;у0), что для каждой точки (х;у), отличной от (хо;уо), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х0;у0). На рисунке 210: N1 — точка максимума, а N2 — точка минимума функции z=ƒ(x;у). Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.

Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (х0;у0) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (х0; у0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. 3)Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися (отделяющимися) переменными, если его правая часть представима в виде . Тогда, в случае общим решением уравнения является

4 Площадь криволинейной трапеции 4) Криволине́йная трапе́ция — плоская фигура, ограниченная графиком неотрицательной непрерывной функции y = f(x), определенной на отрезке [a; b], осью абсцисс и прямыми x = a и x = b.

Для нахождения площади криволинейной трапеции пользуются интегралом.

Или

5 Дифференциальные однородные уравнения первого порядка

5)Однородным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Заменой z = y/x это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно функции z = z(x)

6 Степенные ряды. Пример 6)д, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x0), то есть ряд вида

где x0 − действительное число.

7 Дифференциальные уравнения, приводимые к уравнениям однородной функции 7)нородным уравнениям первого порядка приводится уравнение вида:

Для того, чтобы определить, что дифференциальное уравнение приводится к однородному, нужно выделить две линейные формы: a1 x + b1 y + c1, a2 x + b2 y + c2, и выполнить замену: a1 x + b1 y + c1 → t(a1 x + b1 y + c1); a2 x + b2 y + c2 → t(a2 x + b2 y + c2) Если после преобразований t сократится, то это уравнение приводится к однородному.

8 Уравнение в полных дифференциалах 8)Левые части дифференциальных уравнений вида иногда представляют собой полные дифференциалы некоторых функций. Если восстановить функцию по ее полному дифференциалу, то будет найден общий интеграл дифференциального уравнения. В этой статье опишем метод восстановления функции по ее полному дифференциалу, теоретический материал снабдим примерами и задачами с подробным описанием решения. Левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) = 0, если выполняется условие

.