2.4.2 Метод Гаусса-Зейделя

Начальный этап:

Выбрать х1, ε = 10-4 – 10-8 установить k = 1;

Основной этап:

Шаг 1.

Выполнить серию одномерных поисков вдоль координатных орт:

Шаг 2.

Вычислить ускоряющее направление и проверить КОП: , если выполняется, минимум найден: x*=xn+1.

Иначе:

• Выполнить ускоряющий шаг в новую точку хn+2

• Обозначить последнюю точку как начальную и вернуться на шаг 1.[7]

2.4.3 Метод параллельных касательных

Начальный этап:

Выбрать х1, ε = 10-4 – 10-8 установить k = 1;

Основной этап:

Шаг 1.

Из точки x1 выполнить антиградиентный в точку x2= x1+α1р1, где p1=-у1.

Шаг 2.

Последовательно выполнить две операции:

1)Антиградиентный спуск в точку x3.

Вычислить ускоряющее направление d=x3-x1 и, не останавливаясь совершить ускоряющий шаг в точку x4=x3+α3d.

Шаг 3.

2)Проверить КОП: - остановиться x*=x4.

Иначе:

3)Обозначить x2 как новую начальную x1=x2, а точку x4 как новую точку ускорения x2=x4.

Перейти к шагу 2.[7]

2.4.4 Градиентные методы

Основная идея методов заключается в том, чтобы идти в направлении наискорейшего спуска, а это направление задаётся антиградиентом  :

,

где   выбирается:

• постоянной, в этом случае метод может расходиться;

• дробным шагом, то есть длина шага в процессе спуска делится на некое число;

• наискорейшим спуском:  .[7]

Метод наискорейшего спуска (метод градиента)

Выбирают  , где все производные вычисляются при  , и уменьшают длину шага   по мере приближения к минимуму функции  .

Для аналитических функций   и малых значений   тейлоровское разложение   позволяет выбрать оптимальную величину шага:

,

где все производные вычисляются при  . Параболическая интерполяция функции   может оказаться более удобной.

Алгоритм

1)Задаются начальное приближение и точность расчёта 

2)Рассчитывают  , где 

3)Проверяют условие останова:

Если  , то   и переход к шагу 2.

Иначе   и останов.[7]

Метод сопряженных градиентов

Рассмотренные выше градиентные методы отыскивают точку минимума функции в общем случае лишь за бесконечное число итераций. Метод сопряженных градиентов формирует направления поиска, в большей мере соответствующие геометрии минимизируемой функции. Это существенно увеличивает скорость их сходимости и позволяет, например, минимизировать квадратичную функцию:

f(x) = (х, Нх) + (b, х) + а

с симметрической положительно определенной матрицей Н за конечное число шагов п , равное числу переменных функции. Любая гладкая функция в окрестности точки минимума хорошо аппроксимируется квадратичной, поэтому методы сопряженных градиентов успешно применяют для минимизации и неквадратичных функций. В таком случае они перестают быть конечными и становятся итеративными. По определению, два n-мерных вектора х и у называют сопряженными по отношению к матрице H (или H-сопряженными), если скалярное произведение (x, Ну) = 0. Здесь Н - симметрическая положительно определенная матрица размером пхп.

Одной из наиболее существенных проблем в методах сопряженных градиентов является проблема эффективного построения направлений. Метод Флетчера-Ривса решает эту проблему путем преобразования на каждом шаге антиградиента -f(x[k]) в направление p[k], H-сопряженное с ранее найденными направлениями р[0], р[1], ..., р[k-1]. Рассмотрим сначала этот метод применительно к задаче минимизации квадратичной функции.

Направления р[k] вычисляют по формулам:

p[k] = -f’(x[k])+bk-1p[k-l], k >= 1;

p[0] = -f’(x[0]).

Величины bk-1 выбираются так, чтобы направления p[k], р[k-1] были H-сопряженными:

(p[k], Hp[k-1])= 0.

В результате для квадратичной функции

,

итерационный процесс минимизации имеет вид:

x[k+l] =x[k] +akp[k],

где р[k] - направление спуска на k-м шаге; аk - величина шага. Последняя выбирается из условия минимума функции f(х) по а в направлении движения, т. е. в результате решения задачи одномерной минимизации:

f(х[k] + аkр[k]) =   f(x[k] + ар [k]).

Для квадратичной функции

Алгоритм метода сопряженных градиентов Флетчера-Ривса состоит в следующем.

1. В точке х[0] вычисляется p[0] = -f’(x[0]).

2. На k-м шаге по приведенным выше формулам определяются шаг аk. и точка х[k+1].

3. Вычисляются величины f(x[k+1]) и f’(x[k+1]).

4. Если f’(x[k+1]) = 0, то точка х[k+1] является точкой минимума функции f(х). В противном случае определяется новое направление p[k+l] из соотношения:

и осуществляется переход к следующей итерации. Эта процедура найдет минимум квадратичной функции не более чем за п шагов. При минимизации неквадратичных функций метод Флетчера-Ривса из конечного становится итеративным. В таком случае после (п+1)-й итерации процедуры 1-4 циклически повторяются с заменой х[0] на х[п+1] , а вычисления заканчиваются при  , где   - заданное число. При этом применяют следующую модификацию метода:

x[k+l] = x[k] +akp[k],

p[k] = -f’(x[k])+bk-1p[k-l], k >= 1;

p[0] = -f’(x[0]);

f(х[k] + akp[k]) =   f(x[k] + ap[k];

.

Здесь I- множество индексов: I = {0, n, 2п, Зп, ...}, т. е. обновление метода происходит через каждые пшагов.

Геометрический смысл метода сопряженных градиентов состоит в следующем (Рисунок 1). Из заданной начальной точки х[0] осуществляется спуск в направлении р[0] = -f'(x[0]). В точке х[1] определяется вектор-градиент f'(x [1]). Поскольку х[1] является точкой минимума функции в направлении р[0], то f’(х[1])ортогонален вектору р[0]. Затем отыскивается вектор р [1], H-сопряженный к р [0] . Далее отыскивается минимум функции вдоль направления р[1] и т. д.[7]

Рисунок 1. Траектория спуска в методе сопряженных градиентов

Рисунок 2. Поиск экстремума квадратичной функции методом покоординатного спуска (а), методом параллельных касательных (б), методом наискорейшего спуска (в) и методом сопряженных градиентов (г).

Заключение

Для успешного функционирования промышленных предприятий в современных условиях абсолютно необходимы передовые информационные технологий. Они позволяют не только решать широкий круг задач в сфере автоматизации финансово-хозяйственной и управленческой деятельности, но и осуществлять комплексную автоматизацию основных технологических и производственных бизнес-процессов.

На сегодняшний день внедрение САПР в производство предприятие является не таким уж и трудоемким, как на первый взгляд. Многие готовые системы САПР выпускаются сейчас, и их стоимость чуть выше 500$, в зависимости от рабочих мест. Конечно, есть бесплатные, которые можно закачать с интернета. Но от них никакой технической поддержке. И еще неизвестно как они себя поведут.

Независимо от того какая система САПР необходима:

- PDM система - Управления данными об изделиях (Product Data

Management);

- PLM система - Управления жизненным циклом изделия (Product

Lifecycle Management);

- TDM система - Ведения электронного архива технической

документации (Technical Data Management);

необходимо хорошо развитая локальная сеть и компьютер с большим объемом памяти жесткого диска, для базы данных всей документации. И конечно же желание руководства.

Список источников

1. Малюх, В. Н. Введение в современные САПР: Курс лекций/В. Н. Малюх  — М.: ДМК Пресс, 2010. — 192 с. 

2. Норенков, И. П. Основы автоматизированного проектирования: учеб. для вузов. — 4-е изд., перераб. и доп./ И. П. Норенков — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2009. — 430 с.

3. Норенков, И. П. Автоматизированное проектирование. Учебник / И. П. Норенков  — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. — 188 с.

4. Петров, А. В. Проблемы и принципы создание САПР/ А. В. Петров. — Москва: 1990г. — 130 с.

5. Жук, Д. М. Технические средства и операционные системы САПР/ Д. М. Жук. — Москва: 1986 г. — 59 с.

6. Фролов, В.А. Анализ и оптимизация в прикладных задачах конструирования/ В.А. Фролов — М. : Высшая школа, 1976. — 101 с.

7. Стронгин, Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах (информационно-статистические алгоритмы)/ Р.Г. Стронгин // Серия: "Оптимизация и исследование операций".— М.: Изд-во "Наука", 1978. — 215 с.

8. Курицкий, Б.Я. Оптимизация вокруг нас/ Б.Я. Курицкий : Машиностроение, 1989. —144с.

22